Diriangolo di vertid \( A(0 ; 0 ; 3), B(1 ; 4 ; 7) \) e \( C \) ha baricentro \( G(1 ; 3 ; 3) \). Determina le coordinate di \( C \),

Per determinare le coordinate del punto \( C \), possiamo usare la formula del baricentro \( G \) di un triangolo formato dai vertici \( A \), \( B \) e \( C \). Le coordinate del baricentro \( G \) sono date dalla media delle coordinate dei vertici: \[ G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Abbiamo già le coordinate di \( A(0, 0, 3) \), \( B(1, 4, 7) \) e \( G(1, 3, 3) \). Sostituendo i valori, otteniamo: \[ G\left( \frac{0 + 1 + x_C}{3}, \frac{0 + 4 + y_C}{3}, \frac{3 + 7 + z_C}{3} \right) = (1, 3, 3) \] Da qui possiamo settare up le equazioni per ciascuna coordinata: 1. \( \frac{0 + 1 + x_C}{3} = 1 \) 2. \( \frac{0 + 4 + y_C}{3} = 3 \) 3. \( \frac{3 + 7 + z_C}{3} = 3 \) Ora risolviamo ciascuna equazione: 1. \( 0 + 1 + x_C = 3 \) implica \( x_C = 2 \) 2. \( 0 + 4 + y_C = 9 \) implica \( y_C = 5 \) 3. \( 3 + 7 + z_C = 9 \) implica \( z_C = -1 \) Pertanto, le coordinate del punto \( C \) sono \( C(2, 5, -1) \).