Una piramide retta, di volume $$ 1097,6 \mathrm{~cm}^{3} $$, ha per base un rombo. Le diagonali del rombo sono una i $$ \frac{4}{3} $$ dell'altra e la loro differenza e 7 cm . Calcola l'area totale della piramide.

Question

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Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passi:

1. **Identificare le informazioni note:**
   - Volume della piramide $$ V = 1097,6 \, \mathrm{cm}^3 $$
   - Le diagonali del rombo sono in rapporto $$ d_1 = \frac{4}{3} d_2 $$
   - La differenza tra le diagonali è $$ d_1 - d_2 = 7 \, \mathrm{cm} $$

2. **Definire le diagonali:**
   - Sia $$ d_2 $$ la diagonale più corta. Allora, $$ d_1 = \frac{4}{3} d_2 $$.
   - Possiamo scrivere l'equazione per la differenza delle diagonali:
     $$
     d_1 - d_2 = 7
     $$
     Sostituendo $$ d_1 $$:
     $$
     \frac{4}{3} d_2 - d_2 = 7
     $$

3. **Risolviamo l'equazione per $$ d_2 $$:**
   $$
   \frac{4}{3} d_2 - \frac{3}{3} d_2 = 7
   $$
   $$
   \frac{1}{3} d_2 = 7
   $$
   $$
   d_2 = 21 \, \mathrm{cm}
   $$
   Ora possiamo calcolare $$ d_1 $$:
   $$
   d_1 = \frac{4}{3} \cdot 21 = 28 \, \mathrm{cm}
   $$

4. **Calcolare l'area della base (rombo):**
   L'area $$ A $$ di un rombo è data dalla formula:
   $$
   A = \frac{1}{2} d_1 d_2
   $$
   Sostituendo i valori di $$ d_1 $$ e $$ d_2 $$:
   $$
   A = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 21
   $$

5. **Calcoliamo l'area:**
   $$
   A = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 21 = 294 \, \mathrm{cm}^2
   $$

6. **Calcolare l'altezza della piramide:**
   Il volume di una piramide è dato dalla formula:
   $$
   V = \frac{1}{3} A h
   $$
   Possiamo risolvere per $$ h $$:
   $$
   h = \frac{3V}{A}
   $$
   Sostituendo i valori:
   $$
   h = \frac{3 \cdot 1097,6}{294}
   $$

7. **Calcoliamo l'altezza:**
   $$
   h = \frac{3292,8}{294} \approx 11,2 \, \mathrm{cm}
   $$

8. **Calcolare l'area totale della piramide:**
   L'area totale $$ S $$ di una piramide è data dalla somma dell'area della base e delle aree delle facce laterali. Le facce laterali sono triangoli. L'area totale è:
   $$
   S = A + \text{Area delle facce laterali}
   $$
   L'area delle facce laterali può essere calcolata considerando che ogni faccia laterale è un triangolo con base uguale a un lato del rombo e altezza uguale all'altezza della piramide.

I lati del rombo possono essere calcolati usando il teorema di Pitagora:
   $$
   l = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
   $$
   Sostituendo i valori:
   $$
   l = \sqrt{\left(\frac{28}{2}\right)^2 + \left(\frac{21}{2}\right)^2} = \sqrt{14^2 + 10.5^2}
   $$

9. **Calcoliamo il lato:**
   $$
   l = \sqrt{196 + 110.25} = \sqrt{306.25} \approx 17.5 \, \mathrm{cm}
   $$

10. **Calcolare l'area delle facce laterali:**
    Ogni faccia laterale ha un'area di:
    $$
    A_{triangolo} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot h
    $$
    Ci sono 4 facce laterali, quindi:
    $$
    A_{laterali} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot l \cdot h = 2lh
    $$

11. **Calcoliamo l'area totale:**
    $$
    S = A + 2lh
    $$

12. **Calcoliamo l'area totale:**
    $$
    S = 294 + 2 \cdot 17.5 \cdot 11.2
    $$

13. **Calcoliamo il risultato finale:**
    $$
    S = 294 + 392 = 686 \, \mathrm{cm}^2
    $$

Quindi, l'area totale della piramide è $$ 686 \, \mathrm{cm}^2 $$.
L'area totale della piramide è $$ 686 \, \mathrm{cm}^2 $$.

Una piramide retta, di volume \( 1097,6 \mathrm{~cm}^{3} \), ha per base un rombo. Le diagonali del rombo sono una i \( \frac{4}{3} \) dell'altra e la loro differenza e 7 cm . Calcola l'area totale della piramide.

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