Ejercicio: Calcule, si es posible, el valor de \( x \) en las expresiones: 1. \( x \operatorname{cosec} 60^{\circ}-x \operatorname{tg} 45^{\circ}+1=0 \)

Para resolver la expresión \( x \operatorname{cosec} 60^{\circ} - x \operatorname{tg} 45^{\circ} + 1 = 0 \), primero necesitamos calcular los valores de \( \operatorname{cosec} 60^{\circ} \) y \( \operatorname{tg} 45^{\circ} \). 1. **Cálculo de \( \operatorname{cosec} 60^{\circ} \)**: \[ \operatorname{cosec} 60^{\circ} = \frac{1}{\sin 60^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. \] 2. **Cálculo de \( \operatorname{tg} 45^{\circ} \)**: \[ \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1. \] Ahora sustituimos estos valores en la expresión original: \[ x \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} - x \cdot 1 + 1 = 0. \] Simplificamos la ecuación: \[ x \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} - x + 1 = 0. \] Factorizamos \( x \): \[ x \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right) + 1 = 0. \] Despejamos \( x \): \[ x \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right) = -1. \] Por lo tanto, \[ x = \frac{-1}{\frac{2}{\sqrt{3}} - 1}. \] Ahora simplificamos el denominador: \[ \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}. \] Sustituyendo en la expresión de \( x \): \[ x = \frac{-1}{\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}. \] Para simplificar aún más, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: \[ x = -\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = -\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = -\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}). \] Finalmente, el valor de \( x \) es: \[ x = -\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}). \]