6. Hallar el valor $$ \quad \sum_{k=1}^{4}\left(\frac{1}{k}+k\right) $$

Question

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Consideremos la suma:

$$
\sum_{k=1}^{4}\left(\frac{1}{k}+k\right)
$$

Podemos separar la suma en dos:

$$
\sum_{k=1}^{4}\frac{1}{k} + \sum_{k=1}^{4}k
$$

1. Calculemos primero $$\sum_{k=1}^{4}\frac{1}{k}$$:

$$
\sum_{k=1}^{4}\frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}
$$

Para sumar fracciones usemos un común denominador (por ejemplo, 12):

- $$1 = \frac{12}{12}$$
- $$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$$
- $$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$$
- $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Luego:

$$
\sum_{k=1}^{4}\frac{1}{k} = \frac{12 + 6 + 4 + 3}{12} = \frac{25}{12}
$$

2. Calculemos ahora $$\sum_{k=1}^{4}k$$:

$$
\sum_{k=1}^{4}k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
$$

3. Sumamos ambos resultados:

$$
\sum_{k=1}^{4}\left(\frac{1}{k}+k\right) = \frac{25}{12} + 10
$$

Para sumar, expresamos $$10$$ como fracción con denominador 12:

$$
10 = \frac{120}{12}
$$

Por lo tanto:

$$
\frac{25}{12} + \frac{120}{12} = \frac{145}{12}
$$

La respuesta final es:

$$
\frac{145}{12}
$$
La suma es $$ \frac{145}{12} $$.

6. Hallar el valor \( \quad \sum_{k=1}^{4}\left(\frac{1}{k}+k\right) \)