Задание 3. Найдите наименьшее значение функциии \( y=x^{3}-8 x^{2}+5 x+21 \) на отрезке \( [3 ; 10] \).

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y=x^{3}-8 x^{2}+5 x+21 \) на отрезке \( [3 ; 10] \), нужно оценить значения функции в крайних точках отрезка и в точках, где производная функции равна нулю. Сначала вычислим производную: \( y' = 3x^2 - 16x + 5 \). Теперь решим уравнение \( 3x^2 - 16x + 5 = 0 \). Используем дискриминант: \( D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 \). Корни уравнения: \( x = \frac{16 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm 14}{6} \). Это дает два корня: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = \frac{1}{3} \). Поскольку \( x_2 \) не попадает в наш отрезок, проверяем только \( x_1 = 5 \). Теперь подсчитаем значения функции в точках 3, 5 и 10: 1. \( y(3) = 3^3 - 8 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 21 = 27 - 72 + 15 + 21 = -9 \). 2. \( y(5) = 5^3 - 8 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 + 21 = 125 - 200 + 25 + 21 = -29 \). 3. \( y(10) = 10^3 - 8 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 21 = 1000 - 800 + 50 + 21 = 271 \). Теперь сравниваем значения: - \( y(3) = -9 \) - \( y(5) = -29 \) - \( y(10) = 271 \) Наименьшее значение функции на отрезке \( [3; 10] \) равно \( -29 \) и достигается при \( x = 5 \).