2. Encuentre las asíntotas verticalcs \( y \) horizontalcs a la gráfica de \( T(x)=x^{3} e^{2}+\frac{1}{x+2} \). 3. Detcrmine la ccuación de la recta tangente a la gráfica do \( f(x)=\cos ^{2} x \) por el punto do abscisa \( x=\frac{3}{4} \pi \). 4. Estudie la continuidad de \( k(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}+2 & \text { si } x \leq 0 \\ \frac{6}{x+3} & \text { si } x>0\end{array}\right. \). 5. ¿Cuál es el dominio de \( h(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x^{2}-25} \) ?

Claro, a continuación se resuelven los ejercicios del 2 al 5: --- **2. Encontrar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de \( T(x) = x^{3} e^{2} + \frac{1}{x+2} \).** - **Asíntotas verticales:** Las asíntotas verticales ocurren donde la función no está definida y el límite tiende a infinito. En este caso, \( T(x) \) tiene un término \( \frac{1}{x+2} \) que no está definido para \( x = -2 \). Por lo tanto, existe una asíntota vertical en: \[ x = -2 \] - **Asíntotas horizontales:** Para determinar las asíntotas horizontales, analizamos el comportamiento de \( T(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \pm\infty \). \[ \lim_{x \to \pm\infty} T(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x^{3} e^{2} + \frac{1}{x+2} \right) = \pm\infty \] Dado que el término dominante es \( x^{3} e^{2} \) y su límite tiende a infinito positivo o negativo según el valor de \( x \), **no existen asíntotas horizontales** para \( T(x) \). --- **3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f(x) = \cos^{2} x \) en el punto de abscisa \( x = \frac{3}{4}\pi \).** - **Paso 1: Calcular el valor de \( f \) en \( x = \frac{3}{4}\pi \).** \[ f\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \cos^{2}\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2} \] - **Paso 2: Calcular la derivada \( f'(x) \).** \[ f(x) = \cos^{2}x \\ f'(x) = 2 \cos x (-\sin x) = -2 \cos x \sin x = -\sin(2x) \] - **Paso 3: Evaluar la derivada en \( x = \frac{3}{4}\pi \).** \[ f'\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\sin\left(2 \cdot \frac{3}{4}\pi\right) = -\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) = -(-1) = 1 \] - **Paso 4: Escribir la ecuación de la recta tangente.** Utilizando la forma punto-pendiente: \[ y - f\left(\frac{3}{4}\pi\right) = f'\left(\frac{3}{4}\pi\right) \left(x - \frac{3}{4}\pi\right) \\ y - \frac{1}{2} = 1 \left(x - \frac{3}{4}\pi\right) \\ \] Simplificando: \[ y = x - \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{2} \] **Ecuación de la recta tangente:** \[ y = x - \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{2} \] --- **4. Estudiar la continuidad de la función \( k(x) \):** \[ k(x) = \begin{cases} x^{2} + 2 & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{6}{x + 3} & \text{si } x > 0 \end{cases} \] - **Para \( x \leq 0 \):** La función \( x^{2} + 2 \) es un polinomio y, por lo tanto, continua en todo su dominio (\( \mathbb{R} \)). - **Para \( x > 0 \):** La función \( \frac{6}{x + 3} \) es continua para todos los \( x \) donde el denominador no es cero. Es decir, \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \). Sin embargo, como \( x > 0 \), \( x = -3 \) no pertenece al dominio de esta rama. - **En el punto de unión \( x = 0 \):** Verificamos la continuidad en \( x = 0 \): \[ \lim_{x \to 0^-} k(x) = 0^{2} + 2 = 2 \] \[ \lim_{x \to 0^+} k(x) = \frac{6}{0 + 3} = 2 \] \[ k(0) = 0^{2} + 2 = 2 \] Dado que \( \lim_{x \to 0^-} k(x) = \lim_{x \to 0^+} k(x) = k(0) = 2 \), la función es continua en \( x = 0 \). - **Conclusión:** La función \( k(x) \) es **continua en todo su dominio**, es decir, para todo \( x \in \mathbb{R} \). --- **5. Determinar el dominio de la función \( h(x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x^{2} - 25} \).** Para encontrar el dominio de \( h(x) \), debemos garantizar que: 1. **El radicando de la raíz cuadrada sea no negativo:** \[ 4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4 \] 2. **El denominador no sea cero:** \[ x^{2} - 25 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \quad \text{y} \quad x \neq -5 \] Considerando ambas condiciones: - \( x \leq 4 \) excluye \( x = 5 \) automáticamente, ya que \( 5 > 4 \). - Sin embargo, \( x = -5 \) cumple \( x \leq 4 \), por lo que debemos excluirlo explícitamente. **Dominio de \( h(x) \):** \[ \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \leq 4 \text{ y } x \neq -5 \,\} \] O, expresado en notación de intervalos: \[ (-\infty, -5) \cup (-5, 4] \] ---