точки \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( A C \) треугольника \( A B C \) на расстояниях соответственно 16 и 60 от вершины \( A \). Вычисли радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( A B \) если \( \cos \angle B A C=\frac{\sqrt{15}}{4} \).

Для решения этой задачи начнем с нахождения угла \( \angle BAC \). Из условия мы знаем, что \( \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{15}}{4} \). 1. Обозначим длину отрезка \( AB \) как \( c \) и длину отрезка \( AC \) как \( b \), тогда угол \( \angle BAC \) можно выразить через длины сторон: \[ \cos \angle BAC = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. \] Однако на данный момент нам нужно будет использовать информацию о превращении. 2. Теперь найдем координаты точек \( M \) и \( N \) на стороне \( AC \). Если принимаем \( A \) как начало координат \( (0, 0) \), точка \( M \) будет находиться в \( (16, 0) \), а точка \( N \) в \( (60, 0) \). 3. Теперь нам нужно найти радиус окружности, касающейся луча \( AB \). Для этого вспомним, что радиус окружности, которая проходит через две точки и касается какого-либо направления либо прямой, можно вычислить из геометрии. 4. Обозначим радиус окружности как \( R \). Также отметим, что если угол \( \angle BAM \) меньше или равен градусу, то можно применить формулу радиуса описанной окружности через синус: \[ R = \frac{d}{2\sin \angle BAC}, \] где \( d \) — это длина отрезка \( MN = |MN| = |60 - 16| = 44 \). 5. Подставив значение косинуса в формулу, узнаем: \[ R = \frac{44}{2 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2}}. \] Вычисляем \( \sin \angle BAC \): \[ 1 - \left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \Rightarrow \sin \angle BAC = \frac{1}{4}. \] 6. Подставляем \( R \): \[ R = \frac{44}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{44}{\frac{1}{2}} = 88. \] Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( AB \), равен \( 22 \).