Da un punto \( A(-5 ;-4) \) conduci la parallela \( r \) e la perpendicolare \( s \) alla retta \( t \) di equazione \( y=2 x+1 \). Detto \( B \) il punto di intersezione di se t e detti \( C \) e \( D \) i punti di intersezione rispet- tivamente di \( t \) e \( r \) con l'asse delle ordinate, sta- bilisci che tipo di quadrilatero è \( A B C D \) e calco- lane l'area.

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi richiesti. 1. **Troviamo la retta \( r \) parallela a \( t \)**: La retta \( t \) ha l'equazione \( y = 2x + 1 \). La sua pendenza è \( m = 2 \). La retta parallela \( r \) avrà la stessa pendenza e passerà per il punto \( A(-5, -4) \). L'equazione della retta \( r \) è quindi: \[ y + 4 = 2(x + 5) \] Semplificando, otteniamo: \[ y + 4 = 2x + 10 \implies y = 2x + 6 \] 2. **Troviamo la retta \( s \) perpendicolare a \( t \)**: La pendenza della retta perpendicolare \( s \) sarà l'inverso negativo della pendenza di \( t \). Quindi, la pendenza di \( s \) è \( m = -\frac{1}{2} \). L'equazione della retta \( s \) che passa per il punto \( A(-5, -4) \) è: \[ y + 4 = -\frac{1}{2}(x + 5) \] Semplificando, otteniamo: \[ y + 4 = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{13}{2} \] 3. **Troviamo il punto di intersezione \( B \) tra \( s \) e \( t \)**: Risolviamo il sistema di equazioni formato da \( t \) e \( s \): \[ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -\frac{1}{2}x - \frac{13}{2} \end{cases} \] Eguagliando le due espressioni per \( y \): \[ 2x + 1 = -\frac{1}{2}x - \frac{13}{2} \] Moltiplichiamo tutto per 2 per eliminare il denominatore: \[ 4x + 2 = -x - 13 \implies 5x = -15 \implies x = -3 \] Sostituiamo \( x = -3 \) in \( t \) per trovare \( y \): \[ y = 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \] Quindi, il punto \( B \) è \( B(-3, -5) \). 4. **Troviamo i punti di intersezione \( C \) e \( D \) con l'asse delle ordinate**: - Per la retta \( t \): \[ x = 0 \implies y = 2(0) + 1 = 1 \implies C(0, 1) \] - Per la retta \( r \): \[ x = 0 \implies y = 2(0) + 6 = 6 \implies D(0, 6) \] 5. **Identifichiamo il quadrilatero \( ABCD \)**: I punti sono: - \( A(-5, -4) \) - \( B(-3, -5) \) - \( C(0, 1) \) - \( D(0, 6) \) Per determinare il tipo di quadrilatero, osserviamo che \( C \) e \( D \) sono entrambi sull'asse delle ordinate, quindi \( CD \) è verticale. Inoltre, \( AB \) e \( CD \) sono paralleli (entrambi hanno la stessa pendenza rispetto all'asse delle ordinate). Quindi, \( ABCD \) è un trapezio. 6. **Calcoliamo l'area del trapezio \( ABCD \)**: L'area di un trapezio è data dalla formula: \[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] dove \( b_1 \) e \( b_2 \) sono le lunghezze delle basi e \( h \) è l'altezza. Le basi sono: - \( b_1 = AC = |y_C - y_A| = |1 - (-4)| = 5 \) - \( b_2 = BD = |y_D - y_B| = |6 - (-5)| = 11 \) L'altezza \( h \) è la distanza orizzontale tra le due basi, che è \( |x_C - x_A| = |0 - (-5)| = 5 \). Quindi, l'area è: \[ A = \frac{(5 + 11) \cdot 5}{2} = \frac{16 \cdot 5}{2} = 40 \] In conclusione, il quadrilatero \( ABCD \) è un trapezio e la sua area è \( 40 \) unità quadrate.