Pregunta
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The series is convergent. (A). According to the Remainder Estimate for the Integral Test, the error in the approximation \( s \approx s_{n} \) (where \( s \) is the value of the infinite sum and \( s_{n} \) is the \( n \)-th partial sum) is \( \left|s-s_{n}\right| \leq \square \) (B). Find the smallest value of \( n \) such that this upper bound is less than 0.001 . \( n=\square \)

Ask by Chambers Gardner. in the United States
Mar 07,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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**(A)** The error in the approximation \( s \approx s_{n} \) is bounded by \( \frac{1}{n} \). **(B)** The smallest value of \( n \) such that the error is less than 0.001 is \( n = 1001 \).

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To estimate the error in the approximation of a convergent series using the Remainder Estimate for the Integral Test, we can express the error as \( \left|s-s_{n}\right| \leq \int_{n}^{\infty} f(x) \, dx \), where \( f(x) \) is the function corresponding to the series' terms. By effectively plotting the function and calculating the integral, we can narrow down how close \( s \) is to \( s_n \). To find the smallest \( n \) such that this upper bound is less than 0.001, proceed by evaluating the integral from \( n \) to \( \infty \) and solving for \( n \). This typically involves finding a value for which \( \int_{n}^{\infty} f(x) \, dx < 0.001 \). Start with trial values for \( n \) and iterate until you meet the condition.

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