Resuelve lo siguiente: Funcion objetivo 1. $$ \operatorname{Max} Z=8 X_{1}+6 X_{2}+3 X_{3}-2 X_{4} $$. Restricciones $$ \begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4} \leq 40 \ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+2 x_{4} \leq 8 \ 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-x_{4} \leq 10 \ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \geq 0 \end{array} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

A continuación se presenta una solución paso a paso del problema de programación lineal en español.

---

## 1. Planteamiento del problema

Tenemos la función objetivo

$$
\operatorname{Max} \; Z = 8x_{1} + 6x_{2} + 3x_{3} - 2x_{4}
$$

sujeta a las restricciones

$$
\begin{array}{rcl}
x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} & \le & 40, \
2x_{1} - x_{2} + x_{3} + 2x_{4} & \le & 8, \
4x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - x_{4} & \le & 10, \
x_{1},\, x_{2},\, x_{3},\, x_{4} & \ge & 0.
\end{array}
$$

Dado que el coeficiente de $$ x_{4} $$ es negativo en la función objetivo $$\,( -2 )$$, es razonable esperar que en la solución óptima se tenga $$ x_{4}=0 $$ (pues aumentar $$ x_{4} $$ disminuiría $$ Z $$). Procederemos, por ello, asumiendo $$ x_{4}=0 $$ y resolveremos el sistema resultante.

---

## 2. Reducción del problema (asumiendo $$ x_{4} = 0 $$)

Con $$ x_{4} = 0 $$ las restricciones quedan:

1) $$\quad x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} \le 40 $$.

2) $$\quad 2x_{1} - x_{2} + x_{3} \le 8 $$.

3) $$\quad 4x_{1} - 2x_{2} + x_{3} \le 10 $$.

La función objetivo se convierte en

$$
Z = 8x_{1} + 6x_{2} + 3x_{3}.
$$

En problemas de programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice (punto extremo) de la región factible; es probable que este vértice se encuentre en la intersección (igualdad) de algunas restricciones.

---

## 3. Hallando un candidato óptimo

Intentaremos encontrar la intersección de las restricciones 2) y 3) poniéndolas como igualdades:

$$
\begin{cases}
2x_{1} - x_{2} + x_{3} = 8, \quad \text{(Ecuación (2))} \
4x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = 10, \quad \text{(Ecuación (3))}
\end{cases}
$$

### a) Restar (Ecuación (2)) de (Ecuación (3)):

$$
(4x_{1} - 2x_{2} + x_{3}) - (2x_{1} - x_{2} + x_{3}) = 10 - 8.
$$

Simplificando:

$$
4x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - 2x_{1} + x_{2} - x_{3} = 2 \quad \Longrightarrow \quad 2x_{1} - x_{2} = 2.
$$

De esta ecuación despejamos $$ x_{2} $$:

$$
x_{2} = 2x_{1} - 2.
$$

Notar que para que $$ x_{2} \ge 0 $$ se requiere que:

$$
2x_{1} - 2 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x_{1} \ge 1.
$$

### b) Sustituir $$ x_{2} = 2x_{1} - 2 $$ en la Ecuación (2):

$$
2x_{1} - (2x_{1} - 2) + x_{3} = 8.
$$

Simplificando:

$$
2x_{1} - 2x_{1} + 2 + x_{3} = 8 \quad \Longrightarrow \quad x_{3} + 2 = 8,
$$

de donde se obtiene

$$
x_{3} = 6.
$$

### c) Verificar la primera restricción

Recordemos que la Restricción 1 es

$$
x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} \leq 40.
$$

Con $$ x_{2} = 2x_{1} - 2 $$ y $$ x_{3} = 6 $$, sustituimos:

$$
x_{1} + 2(2x_{1} - 2) + 2(6) \leq 40.
$$

Simplificamos paso a paso:

$$
x_{1} + 4x_{1} - 4 + 12 \leq 40,
$$

$$
5x_{1} + 8 \leq 40.
$$

De donde se obtiene:

$$
5x_{1} \leq 32 \quad \Longrightarrow \quad x_{1} \leq \frac{32}{5} = 6.4.
$$

---

## 4. Función objetivo en términos de $$ x_{1} $$

Con los valores hallados se tiene:
- $$ x_{2} = 2x_{1} - 2 $$,
- $$ x_{3} = 6 $$,
- $$ x_{4} = 0 $$.

La función objetivo se expresa como

$$
Z = 8x_{1} + 6(2x_{1} - 2) + 3(6).
$$

Simplificando:

$$
Z = 8x_{1} + 12x_{1} - 12 + 18 = 20x_{1} + 6.
$$

Como $$ Z $$ es creciente en $$ x_{1} $$ (coeficiente positivo 20) y $$ x_{1} $$ puede tomar como máximo $$ 6.4 $$ (por la Restricción 1), el valor óptimo se alcanza usando

$$
x_{1} = 6.4.
$$

Entonces:

$$
x_{2} = 2(6.4) - 2 = 12.8 - 2 = 10.8.
$$

Se mantienen

$$
x_{3} = 6, \quad x_{4} = 0.
$$

---

## 5. Cálculo del valor óptimo de $$ Z $$

Sustituimos $$ x_{1} = 6.4 $$ en la expresión de $$ Z $$:

$$
Z = 20(6.4) + 6 = 128 + 6 = 134.
$$

---

## 6. Verificación de las restricciones

Comprobamos que la solución encontrada satisface todas las restricciones con $$ x_{1} = 6.4 $$, $$ x_{2} = 10.8 $$, $$ x_{3} = 6 $$ y $$ x_{4} = 0 $$:

1) Restricción 1:

$$
6.4 + 2(10.8) + 2(6) + 4(0) = 6.4 + 21.6 + 12 = 40 \quad \text{(se cumple con igualdad)}.
$$

2) Restricción 2:

$$
2(6.4) - 10.8 + 6 + 2(0) = 12.8 - 10.8 + 6 = 8 \quad \text{(se cumple con igualdad)}.
$$

3) Restricción 3:

$$
4(6.4) - 2(10.8) + 6 - 0 = 25.6 - 21.6 + 6 = 10 \quad \text{(se cumple con igualdad)}.
$$

4) No negatividad: $$6.4,\, 10.8,\, 6,\, 0 \ge 0$$.

---

## 7. Conclusión

La solución óptima del problema es:

- $$ x_{1} = 6.4 $$
- $$ x_{2} = 10.8 $$
- $$ x_{3} = 6 $$
- $$ x_{4} = 0 $$

y el valor máximo de la función objetivo es

$$
Z_{\text{max}} = 134.
$$

Esta es la solución óptima del problema planteado.
La solución óptima es $$ x_{1} = 6.4 $$, $$ x_{2} = 10.8 $$, $$ x_{3} = 6 $$, $$ x_{4} = 0 $$ con un valor máximo de $$ Z = 134 $$.

Resuelve lo siguiente:
Funcion objetivo

.

Restricciones

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. Planteamiento del problema

2. Reducción del problema (asumiendo )

3. Hallando un candidato óptimo

a) Restar (Ecuación (2)) de (Ecuación (3)):

b) Sustituir en la Ecuación (2):

c) Verificar la primera restricción

4. Función objetivo en términos de

5. Cálculo del valor óptimo de

6. Verificación de las restricciones

7. Conclusión

Mind Expander

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Resuelve lo siguiente: Funcion objetivo . Restricciones

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1. Planteamiento del problema

2. Reducción del problema (asumiendo )

3. Hallando un candidato óptimo

a) Restar (Ecuación (2)) de (Ecuación (3)):

b) Sustituir en la Ecuación (2):

c) Verificar la primera restricción

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6. Verificación de las restricciones

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