ticios de Aplicación suelve los siguientes problemas en tu curderno: Utilizando el. Feorema Fundrmental de la Aritenética, descompón el número 91 en factores primor ỳ explica por quê esta descomporición es única. pos ave al multi plicar loo N amos \( (0 y-3) \) mic da \( =1 \) as justo Un estudiante desca formar grupos do trabajo en los que cada grupo tenga el mismo número de integrantes. Si el total de estudiantes es 84 y se sabe que 84 se puede expresar como producto de números primos, ¿cuíles son las posibles cantidades de integrantes por grupo (oxcluyendo grupos de I solo integrante)? Justifiea tu respuesta.

**1. Descomposición de 91 en factores primos** Para descomponer el número 91, buscamos números primos que dividan a 91. Observamos que: - \(91 \div 7 = 13\) - Tanto \(7\) como \(13\) son números primos. Por lo tanto, la descomposición de \(91\) es \[ 91 = 7 \times 13 \] El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo número entero mayor que 1 se puede expresar como producto de números primos de forma única, salvo el orden de los factores. En este caso, la factorización \(91 = 7 \times 13\) es única porque no existen otros números primos (distintos de \(7\) y \(13\)) que al multiplicarse den \(91\). --- **2. Posibles cantidades de integrantes por grupo para 84 estudiantes** Sabemos que el total de estudiantes es \(84\) y que este número se puede expresar como producto de números primos. Primero, descomponemos \(84\) en sus factores primos: \[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \] Cualquier divisor de \(84\) se obtiene combinando estos factores con exponentes que estén en el rango permitido (por ejemplo, para el factor \(2\), los exponentes pueden ser \(0\), \(1\) o \(2\); para \(3\) y \(7\) pueden ser \(0\) o \(1\)). El total de divisores es: \[ (2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 \] Lista de todos los divisores de \(84\): \[ 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 7,\; 12,\; 14,\; 21,\; 28,\; 42,\; 84 \] Como se pide formar grupos en los que cada grupo tenga el mismo número de integrantes, y se indica *excluyendo grupos de 1 solo integrante* (esto es, descartamos el divisor \(1\)), las posibles cantidades de integrantes por grupo son: \[ 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 7,\; 12,\; 14,\; 21,\; 28,\; 42,\; 84 \] Cada uno de estos números divide \(84\) exactamente, lo que significa que \(84\) estudiantes pueden organizarse en grupos de ese tamaño sin que sobre ningún estudiante. La justificación se basa en que, dada la descomposición prima de \(84\), todos sus divisores se obtienen combinando los factores primos y, por el Teorema Fundamental de la Aritmética, esta descomposición es única. Por ello, los únicos tamaños posibles para los grupos (excepto el trivial de un solo integrante) son aquellos números que resultan divisores de \(84\) cuando se forma el producto de potencias permitidas de \(2\), \(3\) y \(7\).