En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto 48 . Calcular la razón y la suma de los 5 primeros términos.

Question

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1. Identificamos que el primer término es $$ a_1 = 6 $$ y el cuarto término es $$ a_4 = 48 $$.

2. Recordamos que en una progresión geométrica, el $$ n $$-ésimo término se calcula como:
   $$
   a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}
   $$
   para $$ n = 4 $$ tenemos:
   $$
   a_4 = 6 \cdot r^3 = 48
   $$

3. Para hallar $$ r $$, dividimos ambos lados de la ecuación:
   $$
   r^3 = \frac{48}{6} = 8
   $$
   por lo que:
   $$
   r = \sqrt[3]{8} = 2
   $$

4. Con la razón $$ r = 2 $$, ahora calculamos la suma de los 5 primeros términos de la progresión, usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica:
   $$
   S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
   $$
   para $$ n = 5 $$ tenemos:
   $$
   S_5 = 6 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2}
   $$
   Calculamos $$ 2^5 $$:
   $$
   2^5 = 32
   $$
   Entonces:
   $$
   S_5 = 6 \cdot \frac{1 - 32}{1 - 2} = 6 \cdot \frac{-31}{-1} = 6 \cdot 31 = 186
   $$

5. Por lo tanto, la razón es $$ r = 2 $$ y la suma de los 5 primeros términos es $$ S_5 = 186 $$.
La razón de la progresión geométrica es 2, y la suma de los 5 primeros términos es 186.

En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto 48 . Calcular la razón y la suma de los 5 primeros términos.

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