\( y ^ { \prime } + 1 = \frac { ( x + y ) ^ { m } } { ( x + y ) ^ { \prime \prime } + ( x + y ) ^ { \prime } } \)

Dada la ecuación   y′ + 1 = [(x + y)^m] / [(x + y)″ + (x + y)′], podemos comenzar analizando y reescribiendo sus distintos elementos para comprender mejor su estructura. 1. Derivadas de (x + y):  a) La primera derivada de (x + y) respecto a x es   (x + y)′ = d(x)/dx + d(y)/dx = 1 + y′.  b) La segunda derivada de (x + y) es   (x + y)″ = d/dx[(x + y)′] = d/dx[1 + y′] = y″. 2. Sustituyendo en la ecuación original el resultado anterior, tenemos:   y′ + 1 = (x + y)^m / [y″ + (1 + y′)]      (ya que (x + y)′ = 1 + y′). Es decir, la ecuación se puede escribir de forma equivalente como   y′ + 1 = (x + y)^m / (y″ + y′ + 1). 3. También podríamos despejar la parte de la derecha multiplicando ambos lados por (y″ + y′ + 1):   (y′ + 1)(y″ + y′ + 1) = (x + y)^m. Esta última forma muestra de forma “compacta” la relación entre la función y sus derivadas en función de la combinación (x + y). Observaciones adicionales: • La ecuación es de tipo no lineal y su complejidad depende del parámetro m. • La forma (x + y) en el numerador y en la variable compuesta sugiere que pudiera tratarse de una ecuación susceptible de simplificarse mediante un cambio de variable. En efecto, si definimos   u = x + y, entonces u′ = 1 + y′ y u″ = y″. Con este cambio, la ecuación transformada queda   u′ = u^m / (u″ + u′). Multiplicando ambos lados por (u″ + u′):   u′ (u″ + u′) = u^m. Esta forma podría, en algunos casos, facilitar el análisis o la búsqueda de soluciones. En resumen, la ecuación original puede reinterpretarse y reexpresarse de la siguiente forma:   y′ + 1 = (x + y)^m / (y″ + y′ + 1)   o, equivalentemente,   (y′ + 1)(y″ + y′ + 1) = (x + y)^m, lo que permite ver claramente la relación entre la función, sus derivadas y la expresión (x + y)^m.