21.8. Постройте схематич ее свойства: 1) \( f(x)=\log _{3} x+2 \)

Рассмотрим функцию   f(x) = log₃ x + 2. Ниже приведём основные свойства и схему её графика. 1. Область определения:   – Так как логарифм определён для положительных аргументов, то x > 0. 2. Область значений:   – Логарифмическая функция принимает все действительные значения, поэтому f(x) ∈ ℝ. 3. Асимптоты:   – Вертикальная асимптота: x = 0. При x → 0⁺ функция стремится к –∞.   – Горизонтальных асимптот нет, поскольку f(x) не ограничена сверху. 4. Ключевые точки:   – Точка A: x = 1. Подставляем: f(1) = log₃1 + 2 = 0 + 2 = 2, то есть точка (1, 2).   – Точка B: x = 3. Тогда f(3) = log₃3 + 2 = 1 + 2 = 3, то есть точка (3, 3).   – Точка C: x = 9. f(9) = log₃9 + 2 = 2 + 2 = 4, то есть точка (9, 4). 5. Нули функции (x-пересечение):   – При f(x) = 0 необходимо решить: log₃ x + 2 = 0 → log₃ x = –2.     Отсюда x = 3^(–2) = 1/9, точка (1/9, 0). 6. Возрастание/убывание:   – Производная: f ′(x) = 1/(x ln 3). При x > 0 она положительна (так как ln 3 > 0), значит функция строго возрастает. 7. Графическая схема (схематичное изображение):   • Ось X: отмечаем, что функция существует только при x > 0.   • Вертикальная пунктирная линия при x = 0 – асимптота.   • Ключевые точки: (1/9, 0), (1, 2), (3, 3), (9, 4) и т.д.   • График проходит через указанные точки, при этом при x → 0⁺ график стремится к –∞, а при x → +∞ – к +∞.   • Функция имеет вид сдвинутой вверх графика log₃x на 2 единицы. 8. Дополнительное замечание:   – При изменении основания логарифма вид графика сохраняется (лишь скорость роста меняется). Здесь основание 3 > 1, поэтому график возрастает, имеет характерное "плавное" увеличение. Таким образом, схематичное изображение графика выглядит следующим образом:     |     |     * (9,4)     |    /     |   /     |  * (3,3)     |  /     |* (1,2) y →   | \     | \     | \     |————————————→ x (при x > 0)      |     |     | (Вертикальная асимптота: x = 0, график не пересекает ось y) (Примечание: Это схематичный эскиз. На реальном чертеже можно отметить и другие точки, а ось x ограничена x > 0.) Такие свойства и построение графика позволяют получить полное представление о функции f(x)=log₃x+2.