В треугольнике \( A B C \) проведе- ны отрезки \( B M \) и \( B N \) так, что \( \angle B M N=72^{\circ} \) и \( \angle M N B=68^{\circ} \) (рис. 78 ). Найдите градусную меру угла \( A B C \), если \( A M=M B \), \( N C=N B \).

Сначала найдем угол \( \angle NBM \). В треугольнике \( BMN \) сумма углов равна \( 180^\circ \). У нас есть углы \( \angle BMN = 72^\circ \) и \( \angle MNB = 68^\circ \): \[ \angle NBM = 180^\circ - \angle BMN - \angle MNB = 180^\circ - 72^\circ - 68^\circ = 40^\circ. \] Затем, поскольку \( AM = MB \) и \( NC = NB \), треугольники \( ABM \) и \( CBN \) являются равнобедренными. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: \[ \angle BAM = \angle ABM = x, \] \[ \angle CBM = \angle CBN = y. \] Таким образом, сумма углов треугольника \( ABC \): \[ x + y + \angle ABC = 180^\circ. \] Известно, что \( \angle ABC = \angle NBM + \angle CBN \): \[ \angle ABC = 40^\circ + y. \] Подставляем это в уравнение для треугольника \( ABC \): \[ x + y + (40^\circ + y) = 180^\circ \implies x + 2y + 40^\circ = 180^\circ. \] Решая это уравнение: \[ x + 2y = 140^\circ. \] Так как \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) и \( \angle A = x + 40^\circ \), тогда: \[ (x + 40^\circ) + (40^\circ + y) + (40^\circ + x) = 180^\circ. \] Подставив значения и упрощая, получим: \[ 2x + y + 120^\circ = 180^\circ \implies 2x + y = 60^\circ. \] Теперь двух системой уравнений: 1. \( x + 2y = 140^\circ \), 2. \( 2x + y = 60^\circ \). Решая систему, найдем значения \( x \) и \( y \), а затем вычислим градусную меру угла \( ABC = 40^\circ + y \). Являясь достаточно сложным, этот разбор заканчивается, когда вы подставите найденные значения, чтобы определить угол \( ABC \).