Pregunta
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\[ y=2 \tan \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{4}\right)-1 \] Drag the movable black point to shift the function, the red points to set the vertical asymptotes, and the blue point at the correct set of coordinates. You may click on a point to verify its coordinates. Note that only one period of the function is shown.

Ask by Black Adkins. in the United States
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

To graph the function \( y = 2 \tan\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}\right) - 1 \): 1. **Vertical Asymptotes**: Place red points at \( x = -\frac{3\pi}{2} \) and \( x = \frac{\pi}{2} \). 2. **Key Point**: Set the blue point at \((0, 1)\). 3. **Shift**: Use the black point to adjust the graph so that it correctly shows one period with the vertical asymptotes and the key point in place. This setup ensures the function is accurately represented within one period.

Solución

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Beyond the Answer

The function \( y=2 \tan \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{4}\right)-1 \) gives a fascinating example of how transformations affect the basic tangent curve. The coefficient of \(2\) indicates a vertical stretch, while the \(\frac{1}{2}\) inside the tangent function shows a horizontal stretch, making the period of the function \(2\pi\). Remember to visualize how the function shifts; by adjusting the x-values, you're essentially playing with the phase of the wave! Understanding and identifying vertical asymptotes is crucial when working with tangent functions. For this function, vertical asymptotes occur where the tangent function approaches infinity, specifically at points where \(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi\) for any integer \(n\). This will help you accurately plot the behavior of the function and determine where it crosses the axes for a complete sketch!

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