\( \int \frac { d y } { ( e ^ { y } + y ) e ^ { y } } = - \int \frac { e ^ { x } } { ( e ^ { x } + 1 ) ^ { 3 } } d x \)

A continuación se presenta un análisis del lado derecho de la igualdad   ∫ [dy⁄((eʸ + y)eʸ)] = – ∫ [eˣ⁄(eˣ + 1)³] dx Nota: En esta igualdad aparecen dos integrales en variables distintas y, en principio, independientes. Por lo tanto, puede interpretarse que existe una relación (por ejemplo, una transformación de variable o una parametrización) que relaciona a x con a y de modo que ambas integrales “representan” la misma función (hasta constante aditiva). En lo que sigue se explica, paso a paso, cómo resolver el lado derecho; luego se hacen algunas consideraciones respecto al lado izquierdo. ───────────────────────────── 1. Resolución de la integral del lado derecho Consideremos la integral   I = – ∫ [eˣ⁄(eˣ + 1)³] dx. Se realiza el siguiente cambio de variable:   Sea u = eˣ + 1. Entonces, derivando con respecto a x se tiene:   du/dx = eˣ  ⇒  du = eˣ dx. De esta forma, la integral se transforma en   I = – ∫ (1/u³) du. Esta es una integral elemental. Recordando que   ∫ u^(–3) du = u^(–2)/(–2) + C, obtenemos   I = – [ u^(–2)/(–2) ] + C = 1/(2u²) + C. Regresando a la variable original, es decir, u = eˣ + 1, se llega a   I = 1/(2 (eˣ + 1)²) + C. ───────────────────────────── 2. Consideraciones sobre el lado izquierdo La integral del lado izquierdo es   J = ∫ [dy⁄((eʸ + y)eʸ)]. A simple vista, no existe un cambio de variable inmediato que “simplifique” la forma de la integral; sin embargo, la igualdad que se presenta en el enunciado indica que para cierta relación entre y y x se obtiene que   J = 1/(2 (eˣ + 1)²) + C′,   con C′ constante de integración (posiblemente distinta de C). Esto sugiere que, en el contexto del problema de partida, se supone o se puede demostrar que existe una correspondencia entre las variables y y x que hace equivalentes ambas integrales (incluso, quizá se caracteriza mediante la relación   eʸ + y = (eˣ + 1)²,   o una transformación similar). ───────────────────────────── 3. Conclusión El análisis realizado muestra que la integral del lado derecho se resuelve de forma directa mediante el cambio de variable   u = eˣ + 1, obteniéndose   – ∫ [eˣ⁄(eˣ + 1)³] dx = 1/(2 (eˣ + 1)²) + C. Así, la igualdad planteada se puede escribir (en virtud de la relación entre las variables que la hace válida) como   ∫ [dy⁄((eʸ + y)eʸ)] = 1/(2 (eˣ + 1)²) + Constante. Para concluir, aunque la integral del lado izquierdo no se resuelva de forma “directa” sin conocer la relación entre y y x, el ejercicio demuestra que, bajo la transformación adecuada, ambas expresiones integrales representan la misma familia de funciones (hasta constante aditiva). Espero que esta explicación en detalle sea de utilidad.