2. Una granja produce tres tipos de vegetales: lechuga (L), tomates (T) y pimientos (P). El departamento de ventas ha establecido los siguientes precios de venta: (L) a \( \$ 8 \) por kg, ( \( T \) ) a \( \$ 12 \) por kg y \( (\mathrm{P}) \) a \( \$ 10 \) por kg. Cada vegetal requiere diferentes cantidades de agua, nutrientes y tiempo de crecimiento. Los Requerimientos de recursos para los (T) son: Agua 10 litros por kg, Nutrientes 5 unidades por kg y Tiempo de Crecimiento 40 días por kg, para las (L) son: Agua 5 litros por kg, Nutrientes 2 unidades por kg y Tiempo de Crecimiento 20 días por kg y para los (P) son: Agua 8 litros por kg, Nutrientes 4 unidades por kg y Tiempo de Crecimiento 30 días por kg. La empresa tiene una Disponibilidad de recursos de la granja es de: Agua 5000 litros, Nutrientes 2000 unidades y Tiempo de Crecimiento Se planifica la producción para un ciclo de 120 días. Objetivo: Construir un Sistema de Ecuaciones Lineales y resolver por Gauss o Gauss/Jordan.

Considerar las siguientes variables de decisión: - \( L \): kilogramos de lechuga producidos, - \( T \): kilogramos de tomates producidos, - \( P \): kilogramos de pimientos producidos. Según el enunciado, cada vegetal utiliza recursos de la siguiente manera: 1. Agua (litros por kg): - Lechuga: \(5 \, \frac{\text{litros}}{\text{kg}}\), - Tomate: \(10 \, \frac{\text{litros}}{\text{kg}}\), - Pimiento: \(8 \, \frac{\text{litros}}{\text{kg}}\). El total de agua disponible es \(5000\) litros, lo que nos da la ecuación: \[ 5L + 10T + 8P = 5000. \] 2. Nutrientes (unidades por kg): - Lechuga: \(2 \, \frac{\text{unidades}}{\text{kg}}\), - Tomate: \(5 \, \frac{\text{unidades}}{\text{kg}}\), - Pimiento: \(4 \, \frac{\text{unidades}}{\text{kg}}\). Con \(2000\) unidades disponibles se obtiene: \[ 2L + 5T + 4P = 2000. \] 3. Tiempo de crecimiento (días por kg): - Lechuga: \(20 \, \frac{\text{días}}{\text{kg}}\), - Tomate: \(40 \, \frac{\text{días}}{\text{kg}}\), - Pimiento: \(30 \, \frac{\text{días}}{\text{kg}}\). Dado que la producción se planifica para un ciclo de \(120\) días, se tiene: \[ 20L + 40T + 30P = 120. \] Este es el sistema de ecuaciones lineales que representa la asignación de recursos. A continuación, se resuelve el sistema empleando el método de Gauss/Jordan. ────────────────────────────── Paso 1. Escribir el sistema: \[ \begin{cases} 5L + 10T + 8P = 5000 \quad \quad (1) \\[1mm] 2L + 5T + 4P = 2000 \quad \quad\ (2) \\[1mm] 20L + 40T + 30P = 120 \quad (3) \end{cases} \] ────────────────────────────── Paso 2. Simplificar la ecuación (3) dividiéndola por 10: \[ 2L + 4T + 3P = 12 \quad \quad (3') \] ────────────────────────────── Paso 3. Restar la ecuación (3') de la ecuación (2) para eliminar el término \(2L\): Ecuación (2): \[ 2L + 5T + 4P = 2000, \] Ecuación (3'): \[ 2L + 4T + 3P = 12. \] Restando (2) − (3'): \[ (2L - 2L) + (5T - 4T) + (4P - 3P) = 2000 - 12, \] lo que da: \[ T + P = 1988. \quad \quad (4) \] De (4) se puede expresar: \[ T = 1988 - P. \quad \quad (4') \] ────────────────────────────── Paso 4. Sustituir la relación (4') en (3') para expresar \(L\) en función de \(P\): La ecuación (3') es: \[ 2L + 4T + 3P = 12. \] Sustituyendo \(T\) obtenemos: \[ 2L + 4(1988 - P) + 3P = 12. \] Desarrollando: \[ 2L + 7952 - 4P + 3P = 12, \] \[ 2L - P + 7952 = 12. \] Restando \(7952\) a ambos lados: \[ 2L - P =