Pregunta
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3. Chapter 3 (Course Work Solve the logarithmic equation. Be sure to reject any value of \( x \) that is not in the domain of the \( \log (x+8)-\log 2=\log (2 x+3) \) Solve the equation to find the solution set. Select the correct choice below and, if necessary, \( f \) A. The solution set is \{.. \( \} \). (Simplify your answer. Use a comma to separate answers as needed.) B. There are infinitely many solutions. C. There is no solution.

Ask by Chen Vaughan. in Saudi Arabia
Mar 09,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The solution set is \( \left\{ \frac{2}{3} \right\} \).

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To solve the logarithmic equation \(\log(x + 8) - \log(2) = \log(2x + 3)\), we can use the properties of logarithms. First, we can combine the logs on the left side: \[ \log\left(\frac{x + 8}{2}\right) = \log(2x + 3) \] By using the property that if \(\log(a) = \log(b)\), then \(a = b\), we get: \[ \frac{x + 8}{2} = 2x + 3 \] Cross-multiply and simplify: \[ x + 8 = 4x + 6 \] Now, rearranging gives: \[ 8 - 6 = 4x - x \] \[ 2 = 3x \] \[ x = \frac{2}{3} \] Now we need to check if this solution is within the domain of the original logs. For \(\log(x + 8)\) to be defined, \(x + 8 > 0\), which is true for \(x = \frac{2}{3}\). For \(\log(2x + 3)\) to be defined, \(2x + 3 > 0\), which is also true for \(x = \frac{2}{3}\). Thus, the solution set is \(\{ \frac{2}{3} \}\). So the correct choice is: A. The solution set is \{ \( \frac{2}{3} \} \}.

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