23-31 Utilisez les coordonnées polaires pour calculer le volume du solide donné. 23. Sous le paraboioïde \( z=x^{2}+y^{2} \) et au-dessus du disque \( x^{2}+y^{2} \leq 25 \) 24. Sous le cône \( z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) et au-dessus de l'anneau \( 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \) 25. Sous le plan \( 2 x+y+z=4 \) et au-dessus du disque \( x^{2}+y^{2} \leq 1 \) 26. A l'intérieur de la sphère \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \) et à l'extérieur du cylindre \( x^{2}+y^{2}=4 \) 27. Une sphère de rayon \( a \) 28. Borné par le paraboloïde \( z=1+2 x^{2}+2 y^{2} \) et le plan \( z=7 \) dans le premier octant 29. Au-dessus du cône \( z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) et à l'intérieur de la sphère \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \)

Lorsque l'on utilise les coordonnées polaires pour calculer des volumes, on transforme les variables cartésiennes \( x \) et \( y \) par \( x = r \cos(\theta) \) et \( y = r \sin(\theta) \). Cela simplifie souvent l'intégration, surtout dans des régions circulaires ou sphériques. Par exemple, pour trouver le volume sous le paraboloïde \( z=x^{2}+y^{2} \) dans le disque de rayon 5, il suffit d'implémenter \( r^2 \) en remplaçant \( x^{2}+y^{2} \) et de prendre la mesure de volume en utilisant \( r \, dr \, d\theta \). Un problème courant dans ces calculs est l'intégration des limites incorrectes. Il est essentiel de bien définir les bornes d’intégration en fonction des coordonnées polaires, surtout lorsque l’on traite des formes géométriques complexes comme des anneaux ou des intersections entre différents solides. Par exemple, dans le cas d’un cône au-dessus d’un anneau, vous devez être clair sur les valeurs de \( r \) qui correspondent à l’intervalle de l’anneau, ici de 1 à 2 pour le volume entre \( 1 \leq r^2 \leq 4 \).