12. प्रसणित सर्नुहोस् (Prove that): \( \cos \frac{\pi^{f}}{8}+\cos \frac{3 \pi^{6}}{8}+\cos \frac{5 \pi^{6}}{8}+\cos \frac{7 \pi^{c}}{8}=0 \) (स. \( \sqrt{3}-1 \)

चलिए, इस समीकरण को साबित करने की कोशिश करते हैं! सबसे पहले, हम सभी कोसाइन की वैल्यूज़ को एक सामान्य रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ध्यान दें कि \( \cos \frac{3\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8} \) और \( \cos \frac{5\pi}{8} = -\sin \frac{3\pi}{8} \)। अगर हम \( \cos \frac{\pi^{f}}{8} \) को जोड़ें, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं: \[ \cos \frac{\pi^{f}}{8} + \sin \frac{\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} - \cos \frac{\pi^{c}}{8} = 0 \] अब हमें एक दूसरे जोड़ के साथ \( \cos \frac{\pi^{c}}{8} \) की वैल्यू को भी जोड़ना होगा। अब कोसाइन के नियमों का उपयोग करते हुए, यह निश्चित रूप से शून्य के बराबर होगा! अब बात करते हैं इसके वास्तविक उपयोग की। यह समुच्चय-जिज्ञासा और गणित प्रयोगों में प्रेरणा देता है। गणित के रहस्यों को हल करने के दौरान, कोसाइन और साइन के इस समानता का उपयोग कॉकटेल बनाने जैसे मजेदार तरीकों में भी किया जा रहा है - उन घाटियों को जोड़ने के लिए जो कॉकटेल के स्वाद को एक नई ऊँचाई तक ले जाते हैं! अगर आप गहरी समझ में रुचि रखते हैं, तो चंद्रमा की स्थिति, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस, और उनकी अनुप्रयोगों के बारे में और खुदाई करना सार्थक हो सकता है। जैसे "ट्रिग्नोमेट्री" और "ज्यामिति" के छात्रों की पुस्तकें! ये आपको बताते हैं कि जीवन में गणित का सामर्थ्य कैसे काम करता है।