Encontrar la integral \( \int \sin ^{5} 2 x \cos 2 x d x \)

Consideremos la integral \[ \int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx. \] **Paso 1.** Realizamos el cambio de variable: \[ u = \sin(2x). \] Calculamos la derivada de \( u \): \[ \frac{du}{dx} = 2 \cos(2x) \quad \Longrightarrow \quad du = 2 \cos(2x) \, dx. \] De aquí se deduce que: \[ \cos(2x) \, dx = \frac{du}{2}. \] **Paso 2.** Sustituimos en la integral: \[ \int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx = \int u^5 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^5 \, du. \] **Paso 3.** Integramos con respecto a \( u \): \[ \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6}. \] Entonces, la integral se vuelve: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} = \frac{u^6}{12}. \] **Paso 4.** Regresamos a la variable original usando \( u = \sin(2x) \): \[ \frac{u^6}{12} = \frac{\sin^6 (2x)}{12}. \] Por lo tanto, la solución de la integral es: \[ \int \sin^5(2x) \cos(2x) \, dx = \frac{\sin^6(2x)}{12} + C, \] donde \( C \) es la constante de integración.