03. A solução do sistema $$ \left\{\begin{array}{c}x-y=\frac{7}{2}\left(\sqrt[3]{x^{2} y}-\sqrt[3]{x y^{2}} ight) \ \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=3\end{array} ight. $$ é

Question

03. A solução do sistema $$ \left\{\begin{array}{c}x-y=\frac{7}{2}\left(\sqrt[3]{x^{2} y}-\sqrt[3]{x y^{2}}ight) \ \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=3\end{array}ight. $$ é

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Considerando o sistema

$$
\begin{cases}
x - y = \frac{7}{2} \left( \sqrt[3]{x^2 y} - \sqrt[3]{x y^2} \right), \
\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 3,
\end{cases}
$$

façamos a substituição

$$
a = \sqrt[3]{x}, \quad b = \sqrt[3]{y},
$$
$$
\text{então } x = a^3 \quad \text{e} \quad y = b^3.
$$

Substituindo na primeira equação, obtemos

$$
a^3 - b^3 = \frac{7}{2} \left( \sqrt[3]{a^6b^3} - \sqrt[3]{a^3b^6} \right).
$$

Note que

$$
\sqrt[3]{a^6 b^3} = a^2b \quad \text{e} \quad \sqrt[3]{a^3 b^6} = ab^2.
$$

Assim, a equação torna-se

$$
a^3 - b^3 = \frac{7}{2} \left( a^2b - ab^2 \right).
$$

Como $$a^3 - b^3$$ pode ser fatorado como

$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2),
$$

temos

$$
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = \frac{7}{2} ab\,(a - b).
$$

Como veremos a seguir, $$a - b \neq 0$$ (pois a segunda equação indica $$a - b = 3$$). Assim, dividindo ambos os lados por $$a - b$$, obtemos

$$
a^2 + ab + b^2 = \frac{7}{2} ab.
$$

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador, temos

$$
2a^2 + 2ab + 2b^2 = 7ab.
$$

Reorganizando os termos,

$$
2a^2 - 5ab + 2b^2 = 0.
$$

Esta equação é quadrática em $$a$$ (com parâmetro $$b$$). Utilizando a fórmula quadrática para $$a$$,

$$
a = \frac{5b \pm \sqrt{(5b)^2 - 4\cdot 2\cdot 2b^2}}{2\cdot 2}.
$$

Calculando o discriminante:

$$
(5b)^2 - 4\cdot 2\cdot 2b^2 = 25b^2 - 16b^2 = 9b^2,
$$

portanto

$$
a = \frac{5b \pm 3b}{4}.
$$

Isto fornece duas possibilidades:

1. $$ a = \frac{5b + 3b}{4} = 2b $$.
2. $$ a = \frac{5b - 3b}{4} = \frac{b}{2} $$.

Agora, utilizando a segunda equação do sistema,

$$
a - b = 3,
$$

analisamos os dois casos:

### Caso 1: $$ a = 2b $$
Substituindo na equação $$a - b = 3$$:

$$
2b - b = b = 3 \quad \Rightarrow \quad b = 3.
$$

Portanto,

$$
a = 2b = 2\cdot 3 = 6.
$$

Voltando à variável original:

$$
x = a^3 = 6^3 = 216, \quad y = b^3 = 3^3 = 27.
$$

### Caso 2: $$ a = \frac{b}{2} $$
Substituindo na equação $$a - b = 3$$:

$$
\frac{b}{2} - b = -\frac{b}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad b = -6.
$$

Portanto,

$$
a = \frac{-6}{2} = -3.
$$

Voltando para $$x$$ e $$y$$:

$$
x = a^3 = (-3)^3 = -27, \quad y = b^3 = (-6)^3 = -216.
$$

### Solução Final

As soluções do sistema são:

1. $$\displaystyle x = 216, \quad y = 27$$.
2. $$\displaystyle x = -27, \quad y = -216$$.
As soluções do sistema são: 1. $$ x = 216 $$ e $$ y = 27 $$ 2. $$ x = -27 $$ e $$ y = -216 $$

A solução do sistema é

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Caso 1:

Caso 2:

Solução Final

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