Resuelve las siguientes aplicaciones: 1. Tres cajas contienen, cada una, 12 kilogramos de carne de res, 18 de carne de cerdo y 24 de carne de pollo. La carne de cada caja está contenida en bolsas del mismo tamaño y con la máxima cantidad de carne posible, ¿cuánto pesa cada bolsa y cuantas hay por caja? 2. Gerardo fabrica un anuncio luminoso con focos de color rojo, amarillo y verde, de tal manera que los focos rojos enciendan cada 10 segundos, los amarillos cada 6 y los verdes cada 15 , si al probar el anuncio encienden todos los focos a la vez, ¿después de cuántos segundos volverán a encender juntos? 3. Un ebanista quiere cortar en cuadros lo más grande posible una plancha de madera de 300 cm de largo y 80 cm de ancho, ¿cuál debe ser la longitud de los lados de cada cuadro? 4. Un ciclista da una vuelta a una pista en 6 minutos, mientras que otro tarda 4 minutos. Si ambos inician sus recorridos juntos, ¿después de qué tiempo volverán a encontrarse y cuántas vueltas habrán dado cada uno? 5. Una llave vierte 4 litros de agua por minuto, otra 3 y una tercera, 8. ¿Cuál es la cantidad menor de litros que puede tener un pozo para que se llene en un número exacto de minutos por cualquiera de las 3 llaves? 6. Tres rollos de tela de 30,48 y 72 metros de largo se quieren cortar para hacer banderas con pedazos iguales y de mayor longitud, ¿cuál será el largo de cada pedazo? 7. Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmera, los cuales miden 15,9 y 6 metros, ¿cuánto deben medir los pedazos de tronco si tienen que ser del mismo tamaño?, ¿cuántos pedazos de troncos saldrán? 8. El abuelo Eduardo da dinero a 3 de sus hijos para que lo repartan a los nietos de manera equitativa. A su hijo Rubén le da \( \$ 5000 \), a su hijo Anselmo le da \( \$ 6000 \), mientras que a Horacio sólo \( \$ 3000 \). ¿cuál es la mayor cantidad de dinero que podrán darle a sus hijos y cuántos nietos tiene Eduardo? 9. Fabián tiene un reloj que da una señal cada 18 minutos, otro que da una señal cada 12 minutos y un tercero cada 42 minutos. A las 11 de la mañana los 3 relojes han coincidido en dar la señal, ¿cuántos minutos como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir?, ¿a qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos'? 10. Daniel y Omar tienen 60 canicas azules, 45 verdes y 90 amarillas; quieren hacer costalitos iguales con el número mayor de canicas sin que sobren, ¿cuántos costalitos pueden hacer y cuántas canicas tendrá cada uno? 11. Ricardo tiene en su papelería los lapiceros en bolsas. En la caja " A " tiene bolsitas de 30 lapiceros cada una y no sobran, en la caja "B" tiene bolsitas de 25 lapiceros cada una y tampoco sobran. El número de lapiceros que hay en la caja "A" es igual al que hay en la caja "B", ¿cuántos lapiceros como mínimo hay en cada caja? 12. Rosa tiene cubos de color lila de 8 cm de arista y de color rojo de 6 cm de arista. Ella quiere apilar los cubos en 2 columnas, una de cubos de color lila y otra de color rojo, desea conseguir que ambas columnas tengan la misma altura, ¿cuántos cubos, como mínimo, tiene que apilar de cada color? 13. Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero, 18 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que los 3 pasen simultáneamente por el punto de partida, ¿cuánto tiempo duró el paseo?, ¿cuántas vueltas dio cada uno? 14. En 1994 se realizaron elecciones para presidente y para jefe de gobierno, el periodo presidencial es de 6 años y el de jefe de gobierno de 4. ¿En qué año volverán a coincidir las elecciones? 15. El piso de una habitación tiene 425 cm de largo por 275 cm de ancho, si se desea poner el menor número de mosaicos cuadrados de mármol, ¿cuáles serán las dimensiones máximas de cada mosaico?, ¿cuántos mosaicos se necesitan?

Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}6x=4y\\6x=10z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2y}{3}\\6x=10z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(6\times \frac{2y}{3}=10z\) - step3: Simplify: \(4y=10z\) - step4: Divide both sides: \(\frac{4y}{4}=\frac{10z}{4}\) - step5: Divide the numbers: \(y=\frac{5z}{2}\) - step6: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{2\times \frac{5z}{2}}{3}\) - step7: Simplify: \(x=\frac{5z}{3}\) - step8: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{5z}{3},\frac{5z}{2},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step9: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 425 = x + y; 275 = x + y \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}425=x+y\\275=x+y\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=425-y\\275=x+y\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(275=425-y+y\) - step3: Simplify: \(275=425\) - step4: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \\y \in \varnothing \end{array}\right.\) - step5: Rewrite: \((x, y) \in \varnothing\) Solve the system of equations \( 60x + 45y + 90z = 60; 60x + 45y + 90z = 45; 60x + 45y + 90z = 90 \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}60x+45y+90z=60\\60x+45y+90z=45\\60x+45y+90z=90\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{4-3y-6z}{4}\\60x+45y+90z=45\\60x+45y+90z=90\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(\left\{ \begin{array}{l}60\times \frac{4-3y-6z}{4}+45y+90z=45\\60\times \frac{4-3y-6z}{4}+45y+90z=90\end{array}\right.\) - step3: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}60=45\\60=90\end{array}\right.\) - step4: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \\y \in \varnothing \\z \in \varnothing \end{array}\right.\) - step5: Rewrite: \((x, y, z) \in \varnothing\) Solve the system of equations \( 10x = 6y = 15z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}10x=6y\\6y=15z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3y}{5}\\6y=15z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(6y=15z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{6y}{6}=\frac{15z}{6}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{5z}{2}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{3\times \frac{5z}{2}}{5}\) - step6: Simplify: \(x=\frac{3z}{2}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{3z}{2},\frac{5z}{2},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 12x + 18y + 24z = 12; 12x + 18y + 24z = 18; 12x + 18y + 24z = 24 \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}12x+18y+24z=12\\12x+18y+24z=18\\12x+18y+24z=24\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2-3y-4z}{2}\\12x+18y+24z=18\\12x+18y+24z=24\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(\left\{ \begin{array}{l}12\times \frac{2-3y-4z}{2}+18y+24z=18\\12\times \frac{2-3y-4z}{2}+18y+24z=24\end{array}\right.\) - step3: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}12=18\\12=24\end{array}\right.\) - step4: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \\y \in \varnothing \\z \in \varnothing \end{array}\right.\) - step5: Rewrite: \((x, y, z) \in \varnothing\) Solve the system of equations \( 4x = 3y = 8z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}4x=3y\\3y=8z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3y}{4}\\3y=8z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(3y=8z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{3y}{3}=\frac{8z}{3}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{8z}{3}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{3\times \frac{8z}{3}}{4}\) - step6: Simplify: \(x=2z\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(2z,\frac{8z}{3},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 5000x + 6000y + 3000z = 5000; 5000x + 6000y + 3000z = 6000; 5000x + 6000y + 3000z = 3000 \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}5000x+6000y+3000z=5000\\5000x+6000y+3000z=6000\\5000x+6000y+3000z=3000\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5-6y-3z}{5}\\5000x+6000y+3000z=6000\\5000x+6000y+3000z=3000\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(\left\{ \begin{array}{l}5000\times \frac{5-6y-3z}{5}+6000y+3000z=6000\\5000\times \frac{5-6y-3z}{5}+6000y+3000z=3000\end{array}\right.\) - step3: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}5000=6000\\5000=3000\end{array}\right.\) - step4: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \\y \in \varnothing \\z \in \varnothing \end{array}\right.\) - step5: Rewrite: \((x, y, z) \in \varnothing\) Solve the system of equations \( 30x = 25y; 30x = 25y \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}30x=25y\\30x=25y\end{array}\right.\) - step1: Rearrange the terms: \(30x=25y\) - step2: Divide both sides: \(\frac{30x}{30}=\frac{25y}{30}\) - step3: Divide the numbers: \(x=\frac{5y}{6}\) - step4: Calculate: \(\left(x,y\right) = \left(\frac{5y}{6},y\right),y \in \mathbb{R}\) - step5: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 10x = 15y = 18z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}10x=15y\\15y=18z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3y}{2}\\15y=18z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(15y=18z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{15y}{15}=\frac{18z}{15}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{6z}{5}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{3\times \frac{6z}{5}}{2}\) - step6: Simplify: \(x=\frac{9z}{5}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{9z}{5},\frac{6z}{5},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 300 = x + y; 80 = x + y \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}300=x+y\\80=x+y\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=300-y\\80=x+y\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(80=300-y+y\) - step3: Simplify: \(80=300\) - step4: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \\y \in \varnothing \end{array}\right.\) - step5: Rewrite: \((x, y) \in \varnothing\) Solve the system of equations \( 18x = 12y = 42z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}18x=12y\\12y=42z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2y}{3}\\12y=42z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(12y=42z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{12y}{12}=\frac{42z}{12}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{7z}{2}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{2\times \frac{7z}{2}}{3}\) - step6: Simplify: \(x=\frac{7z}{3}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{7z}{3},\frac{7z}{2},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Vamos a resolver cada una de las aplicaciones planteadas: 1. **Tres cajas con carne**: Cada caja contiene 12 kg de carne de res, 18 kg de carne de cerdo y 24 kg de carne de pollo. Para determinar el peso de cada bolsa y cuántas hay por caja, necesitamos encontrar el máximo común divisor (MCD) de los pesos de cada tipo de carne. - MCD(12, 18, 24) = 6 kg. - Por lo tanto, cada bolsa pesará 6 kg. - Cantidad de bolsas por caja: - Carne de res: \( \frac{12}{6} = 2 \) bolsas. - Carne de cerdo: \( \frac{18}{6} = 3 \) bolsas. - Carne de pollo: \( \frac{24}{6} = 4 \) bolsas. 2. **Focos de Gerardo**: Los focos encienden cada 10, 6 y 15 segundos. Para encontrar cuándo volverán a encender juntos, calculamos el mínimo común múltiplo (MCM) de estos tiempos. - MCM(10, 6, 15) = 30 segundos. - Por lo tanto, volverán a encender juntos después de 30 segundos. 3. **Ebanista y plancha de madera**: Para cortar la plancha de 300 cm x 80 cm en cuadros del mayor tamaño posible, encontramos el MCD de las dimensiones. - MCD(300, 80) = 20 cm. - Cada cuadro debe medir 20 cm de lado. 4. **Ciclistas**: Un ciclista da una vuelta en 6 minutos y el otro en 4 minutos. Para saber cuándo se encontrarán de nuevo, calculamos el MCM de sus tiempos. - MCM(6, 4) = 12 minutos. - Después de 12 minutos, ambos habrán dado: - Ciclista 1: \( \frac{12}{6} = 2 \) vueltas. - Ciclista 2: \( \frac{12}{4} = 3 \) vueltas. 5. **Llaves y pozo**: Las llaves vierten 4, 3 y 8 litros por minuto. Para encontrar la cantidad mínima de litros que puede tener el pozo, calculamos el MCM de los caudales. - MCM(4, 3, 8) = 24 litros. - El pozo debe tener al menos 24 litros. 6. **Rollos de tela**: Los rollos miden 30, 48 y 72 metros. Para hacer pedazos iguales de mayor longitud, encontramos el MCD. - MCD(30, 48, 72) = 6 metros. - Cada pedazo debe medir 6 metros. 7. **Troncos de palmera**: Los troncos miden 15, 9 y 6 metros. Para cortarlos en pedazos del mismo tamaño, encontramos el MCD. - MCD(15, 9, 6) = 3 metros. - Cada pedazo debe medir 3 metros. - Cantidad de pedazos: - Tronco de 15 m: \( \frac{15}{3} = 5 \) pedazos. - Tronco de 9 m: \( \frac{9}{3} = 3 \) pedazos. - Tronco de 6 m: \( \frac{6}{3} = 2 \) pedazos. 8. **Dinero de Eduardo**: Para repartir el dinero de manera equitativa entre los nietos, encontramos el MCD de las cantidades que les da a sus hijos. - MCD(5000, 6000, 3000) = 1000. - La mayor cantidad que pueden dar a cada nieto es 1000. - Total de dinero: \( 5000 + 6000 + 3000 = 14000 \). - Número de nietos: \( \frac{14000}{1000} = 14 \). 9. **Relojes de Fabián**: Los relojes dan señal cada 18, 12 y 42 minutos. Para saber cuándo volverán a coincidir, calculamos el MCM. - MCM(18, 12, 42) = 126 minutos. - Volverán a dar la señal juntos a las 11:00 + 126 minutos = 13:06. 10. **Canicas de Daniel y Omar**: Tienen 60 azules, 45 verdes y 90 amarillas. Para hacer costalitos iguales, encontramos el MCD. - MCD(60, 45, 90) = 15. - Pueden hacer \( \frac{60}{15} = 4 \) costalitos de canicas azules, \( \frac{45}{15} = 3 \) de verdes y \( \frac{90}{15} = 6 \) de amarillas. 11. **Lapiceros en bolsas**: En la caja A hay 30 lapiceros por bolsa y en la B hay 25. Si el número de lapiceros es igual en ambas cajas, encontramos el MCM. - MCM(30, 25) = 150. - Cada caja tiene 150 lapiceros. 12. **Cubos de Rosa**: Tiene cubos de 8 cm y 6 cm. Para que ambas columnas tengan la misma altura, encontramos el MCM. - MCM(8, 6) = 24. - Necesita apilar \( \frac{24}{8} = 3 \) cubos lilas y \( \frac{24}{6} = 4 \) cubos rojos. 13. **Amigos en bicicleta**: Tardan 10, 15 y 18 minutos en dar una vuelta. Para saber cuándo se encontrarán, calculamos el MCM. - MCM(10, 15, 18) = 90 minutos. - Cada uno habrá dado: - 9 vueltas (10 min). - 6 vueltas (15 min). - 5 vueltas (18 min). 14. **Elecciones**: Las elecciones coinciden cada 6 y 4 años. Para saber cuándo volverán a coincidir, calculamos el MCM. - MCM(6, 4) = 12 años. - Coincidirán en 1994 + 12 = 2006. 15. **Mosaicos en el piso**: El piso mide 425 cm x 275 cm. Para encontrar el tamaño máximo de los mosaicos, calculamos el MCD. - MCD(425, 275) = 25 cm. - Se necesitan \( \frac{425}{25} \times \frac{275}{25} = 17 \times 11 = 187 \) mosaicos. Si necesitas