Упр. 1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат со стороной 2 см так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие лежат на катетах. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.

Для решения этой задачи можно использовать свойства равнобедренного прямоугольного треугольника. Обозначим высоту, опущенную на гипотенузу, как h. Так как квадрат вписан в треугольник и его сторона равна 2 см, можно установить, что расстояние от основания квадрата до гипотенузы также будет 2 см. Гипотенуза равнобедренного треугольника является диагональю квадрата, поэтому её длина будет равна \(2\sqrt{2}\) см. Чтобы найти высоту h, мы можем использовать отношение площадей треугольника и квадрата: площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h\), а площадь квадрата равна \(2^2 = 4\). Таким образом, получим уравнение: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h = 4\), из которого следует, что h = 4 см. В итоге, высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 4 см.