\( y = ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { \operatorname { Ln } ( x ^ { 2 } - 1 ) } \)

Sea \[ y = (x^2-1)^{\ln(x^2-1)}. \] Procedemos de la siguiente manera: 1. Tomamos el logaritmo natural en ambos lados: \[ \ln y = \ln\big((x^2-1)^{\ln(x^2-1)}\big). \] Usando la propiedad del logaritmo \(\ln(a^b) = b \ln a\), obtenemos: \[ \ln y = \ln(x^2-1)\cdot \ln(x^2-1) = \big[\ln(x^2-1)\big]^2. \] 2. Derivamos ambos lados respecto a \(x\). La derivada del lado izquierdo es: \[ \frac{d}{dx}\big(\ln y\big) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}. \] Para el lado derecho, aplicamos la regla de la cadena: \[ \frac{d}{dx}\left(\big[\ln(x^2-1)\big]^2\right) = 2\ln(x^2-1) \cdot \frac{d}{dx}\ln(x^2-1). \] 3. Hallamos la derivada de \(\ln(x^2-1)\): \[ \frac{d}{dx}\ln(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}\cdot \frac{d}{dx}(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2-1}. \] 4. Sustituyendo en el paso anterior: \[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2\ln(x^2-1)\cdot \frac{2x}{x^2-1}=\frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1}. \] 5. Finalmente, multiplicamos ambos lados por \(y\) para despejar \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx}= y \cdot \frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1}. \] Recordando que \(y = (x^2-1)^{\ln(x^2-1)}\), la derivada es: \[ \frac{dy}{dx}=\frac{4x\,\ln(x^2-1)}{x^2-1}\,(x^2-1)^{\ln(x^2-1)}. \]