$$ y = ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { \operatorname { Ln } ( x ^ { 2 } - 1 ) } $$

Question

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$$
y = (x^2-1)^{\ln(x^2-1)}.
$$
Procedemos de la siguiente manera:

1. Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:
   $$
   \ln y = \ln\big((x^2-1)^{\ln(x^2-1)}\big).
   $$
   Usando la propiedad del logaritmo $$\ln(a^b) = b \ln a$$, obtenemos:
   $$
   \ln y = \ln(x^2-1)\cdot \ln(x^2-1) = \big[\ln(x^2-1)\big]^2.
   $$

2. Derivamos ambos lados respecto a $$x$$. La derivada del lado izquierdo es:
   $$
   \frac{d}{dx}\big(\ln y\big) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}.
   $$
   Para el lado derecho, aplicamos la regla de la cadena:
   $$
   \frac{d}{dx}\left(\big[\ln(x^2-1)\big]^2\right) = 2\ln(x^2-1) \cdot \frac{d}{dx}\ln(x^2-1).
   $$

3. Hallamos la derivada de $$\ln(x^2-1)$$:
   $$
   \frac{d}{dx}\ln(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}\cdot \frac{d}{dx}(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2-1}.
   $$

4. Sustituyendo en el paso anterior:
   $$
   \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2\ln(x^2-1)\cdot \frac{2x}{x^2-1}=\frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1}.
   $$

5. Finalmente, multiplicamos ambos lados por $$y$$ para despejar $$\frac{dy}{dx}$$:
   $$
   \frac{dy}{dx}= y \cdot \frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1}.
   $$
   Recordando que $$y = (x^2-1)^{\ln(x^2-1)}$$, la derivada es:
   $$
   \frac{dy}{dx}=\frac{4x\,\ln(x^2-1)}{x^2-1}\,(x^2-1)^{\ln(x^2-1)}.
   $$
La derivada de $$ y = (x^2 - 1)^{\ln(x^2 - 1)} $$ es: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{4x \ln(x^2 - 1)}{x^2 - 1} \cdot (x^2 - 1)^{\ln(x^2 - 1)} $$

\( y = ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { \operatorname { Ln } ( x ^ { 2 } - 1 ) } \)

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