7. Considerate le seguenti operazioni finanziarie: Operazione \( A \) Operazione \( B \quad\{(0 ; 5000),(1 / 2 ;-3500),(1 ;-1565,17)\} \) a) Determinare analiticamente il tasso interno di rendimento dell'Operazione A, motivando esaurientemente la risposta. b) Disegnare il grafico del discounted cash-flow dell'Operazione A utilizzando l'informazione ottenuta al punto a). (p) Determinare per quali valori dell'importo \( R \) risulta che l'Operazione A è preferibile all'Operazione B secondo il criterio del TIR. Motivare esaurientemente la risposta. (punti 4)

Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passi: ### a) Determinazione analitica del tasso interno di rendimento (TIR) dell'Operazione A L'Operazione A non è stata specificata nel problema, quindi supponiamo che l'Operazione A abbia i seguenti flussi di cassa: - \( C_0 = 0 \) (flusso di cassa iniziale) - \( C_1 = R \) (flusso di cassa al termine del primo anno) Per calcolare il TIR, dobbiamo risolvere l'equazione: \[ 0 = C_0 + \frac{C_1}{(1 + TIR)^1} \] Sostituendo i valori: \[ 0 = 0 + \frac{R}{(1 + TIR)} \] Da cui otteniamo: \[ R = 0 \cdot (1 + TIR) \implies R = 0 \] Quindi, il TIR non può essere determinato senza un valore specifico per \( R \). Se \( R \) è positivo, il TIR sarà positivo, mentre se \( R \) è negativo, il TIR sarà negativo. ### b) Disegno del grafico del discounted cash-flow dell'Operazione A Per disegnare il grafico del discounted cash-flow (DCF) dell'Operazione A, dobbiamo calcolare i flussi di cassa scontati. Se consideriamo \( R \) come flusso di cassa positivo, il DCF sarà: \[ DCF = \frac{R}{(1 + TIR)} \] Il grafico avrà l'asse delle ascisse rappresentante il tempo (anni) e l'asse delle ordinate rappresentante il valore attuale dei flussi di cassa. ### c) Determinazione dei valori di \( R \) per cui l'Operazione A è preferibile all'Operazione B secondo il criterio del TIR L'Operazione B ha i seguenti flussi di cassa: - \( C_0 = 0 \) - \( C_1 = 5000 \) - \( C_2 = -3500 \) - \( C_3 = -1565,17 \) Per calcolare il TIR dell'Operazione B, dobbiamo risolvere l'equazione: \[ 0 = 0 + \frac{5000}{(1 + TIR)^1} + \frac{-3500}{(1 + TIR)^2} + \frac{-1565,17}{(1 + TIR)^3} \] Questa è un'equazione polinomiale di terzo grado in \( TIR \). Procediamo a calcolare il TIR dell'Operazione B. ### Calcolo del TIR per l'Operazione B Utilizzeremo la funzione per risolvere l'equazione del TIR per l'Operazione B. Iniziamo a calcolare il TIR dell'Operazione B. \[ 0 = \frac{5000}{(1 + TIR)} - \frac{3500}{(1 + TIR)^2} - \frac{1565,17}{(1 + TIR)^3} \] Procediamo con il calcolo. Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(TIR\): \(5000-3500\left(1+TIR \right)^{-1}-1565.17\left(1+TIR \right)^{-2}=0\) - step1: Find the domain: \(5000-3500\left(1+TIR \right)^{-1}-1565.17\left(1+TIR \right)^{-2}=0,TIR \neq -1\) - step2: Rewrite the expression: \(5000-\frac{3500}{1+TIR }-\frac{156517}{100\left(1+TIR \right)^{2}}=0\) - step3: Multiply both sides of the equation by LCD: \(\left(5000-\frac{3500}{1+TIR }-\frac{156517}{100\left(1+TIR \right)^{2}}\right)\times 100\left(1+TIR \right)^{2}=0\times 100\left(1+TIR \right)^{2}\) - step4: Simplify the equation: \(-6517+650000TIR +500000TIR ^{2}=0\) - step5: Rewrite in standard form: \(500000TIR ^{2}+650000TIR -6517=0\) - step6: Solve using the quadratic formula: \(TIR =\frac{-650000\pm \sqrt{650000^{2}-4\times 500000\left(-6517\right)}}{2\times 500000}\) - step7: Simplify the expression: \(TIR =\frac{-650000\pm \sqrt{650000^{2}-4\times 500000\left(-6517\right)}}{1000000}\) - step8: Simplify the expression: \(TIR =\frac{-650000\pm \sqrt{650000^{2}+13034000000}}{1000000}\) - step9: Simplify the expression: \(TIR =\frac{-650000\pm 1000\sqrt{422500+13034}}{1000000}\) - step10: Separate into possible cases: \(\begin{align}&TIR =\frac{-650000+1000\sqrt{422500+13034}}{1000000}\\&TIR =\frac{-650000-1000\sqrt{422500+13034}}{1000000}\end{align}\) - step11: Simplify the expression: \(\begin{align}&TIR =\frac{-650+\sqrt{435534}}{1000}\\&TIR =\frac{-650000-1000\sqrt{422500+13034}}{1000000}\end{align}\) - step12: Simplify the expression: \(\begin{align}&TIR =\frac{-650+\sqrt{435534}}{1000}\\&TIR =-\frac{650+\sqrt{435534}}{1000}\end{align}\) - step13: Check if the solution is in the defined range: \(\begin{align}&TIR =\frac{-650+\sqrt{435534}}{1000}\\&TIR =-\frac{650+\sqrt{435534}}{1000}\end{align},TIR \neq -1\) - step14: Find the intersection: \(\begin{align}&TIR =\frac{-650+\sqrt{435534}}{1000}\\&TIR =-\frac{650+\sqrt{435534}}{1000}\end{align}\) - step15: Rewrite: \(TIR_{1}=-\frac{650+\sqrt{435534}}{1000},TIR_{2}=\frac{-650+\sqrt{435534}}{1000}\) Abbiamo calcolato il tasso interno di rendimento (TIR) per l'Operazione B e ottenuto i seguenti risultati: - \( TIR_1 \approx -1.30995 \) (un valore negativo) - \( TIR_2 \approx 0.00995 \) (circa 0.995%) ### Confronto tra le Operazioni A e B Per determinare per quali valori dell'importo \( R \) l'Operazione A è preferibile all'Operazione B secondo il criterio del TIR, dobbiamo considerare i seguenti punti: 1. **Se \( R \) è maggiore di zero**, il TIR dell'Operazione A sarà positivo e quindi sarà preferibile all'Operazione B quando \( R > 0.00995 \) (il TIR dell'Operazione B). 2. **Se \( R \) è minore o uguale a zero**, l'Operazione A non sarà preferibile all'Operazione B, poiché il TIR dell'Operazione B è positivo. ### Risultato finale - L'Operazione A è preferibile all'Operazione B se \( R > 0.00995 \). ### Conclusione Abbiamo determinato il TIR dell'Operazione B e confrontato le due operazioni. Per un'analisi più dettagliata, sarebbe utile avere informazioni specifiche sui flussi di cassa dell'Operazione A. Se hai ulteriori dettagli o domande, sentiti libero di chiedere!