2. APLICA. Calcula el valor de la función trigonométrica a partir del punto de la circunferencia unitaria que se indica. a. sen \( t \), sit determina el punto \( P\left(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{2}{3}\right) \). \( \qquad \) b. \( \cos \alpha, \operatorname{si} \alpha \) determina el punto \( Q\left(\frac{\sqrt{5}}{3},-\frac{2}{3}\right) \). \( \qquad \) c. \( \tan \beta \), si \( \beta \) determina el punto \( R\left(-\frac{\sqrt{5}}{3},-\frac{2}{3}\right) \). \( \qquad \) d. \( \cot \theta \), si \( \theta \) determina el punto \( S\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{2}{3}\right) \). \( \qquad \)

1. **Para el punto \( P\left(\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{2}{3}\right) \):** En la circunferencia unitaria, las coordenadas del punto son \(\left(\cos t, \sin t\right)\). Por lo tanto, dado que \(\sin t=\frac{2}{3}\), se tiene: \[ \sin t=\frac{2}{3}. \] 2. **Para el punto \( Q\left(\frac{\sqrt{5}}{3},-\frac{2}{3}\right) \):** Aquí, el punto está dado por \(\left(\cos \alpha, \sin \alpha\right)\). Así, se deduce que: \[ \cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}. \] 3. **Para el punto \( R\left(-\frac{\sqrt{5}}{3},-\frac{2}{3}\right) \):** El valor de \(\tan \beta\) se obtiene mediante la razón \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\). Dado que las coordenadas son \(\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{2}{3}\right)\), tenemos: \[ \tan \beta=\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{5}}. \] También se puede racionalizar la expresión: \[ \tan \beta=\frac{2\sqrt{5}}{5}. \] 4. **Para el punto \( S\left(-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{2}{3}\right) \):** El valor de \(\cot \theta\) se calcula como la razón \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\). Con las coordenadas \(\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{2}{3}\right)\), se obtiene: \[ \cot \theta=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}. \]