Transforme cada una de las siguientes ecuaciones de una circunferencia, a forma ordinaria, identifique el centro, el radio y grafique. $$ \begin{array}{ll} ext { a) } x^{2}+y^{2}-2 x-20 y+97=0 & ext { b) } 4 x^{2}+4 y^{2}+4 x-4 y+1=0 \ ext { c) } x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+5=0 & ext { d) } 2 x^{2}+2 y^{2}-12 x-28 y+110=0\end{array} $$

Question

Transforme cada una de las siguientes ecuaciones de una circunferencia, a forma ordinaria, identifique el centro, el radio y grafique. $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } x^{2}+y^{2}-2 x-20 y+97=0 & 	ext { b) } 4 x^{2}+4 y^{2}+4 x-4 y+1=0 \ 	ext { c) } x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+5=0 & 	ext { d) } 2 x^{2}+2 y^{2}-12 x-28 y+110=0\end{array} $$

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**a) Ecuación: $$ x^{2}+y^{2}-2x-20y+97=0 $$**

1. Reescribimos agrupando términos:
   $$
   (x^{2} - 2x) + (y^{2} - 20y) = -97
   $$

2. Completamos cuadrados para cada variable:

- Para $$x$$:
     $$
     x^{2} - 2x = (x-1)^{2} - 1
     $$
   - Para $$y$$:
     $$
     y^{2} - 20y = (y-10)^{2} - 100
     $$

3. Sustituimos en la ecuación:
   $$
   (x-1)^2 - 1 + (y-10)^2 - 100 = -97
   $$

4. Simplificamos:
   $$
   (x-1)^2 + (y-10)^2 = -97 + 1 + 100 = 4
   $$

5. Forma ordinaria de la circunferencia:
   $$
   (x-1)^2 + (y-10)^2 = 4
   $$
   
   - **Centro:** $$(1, 10)$$  
   - **Radio:** $$2$$ (ya que $$2^2 = 4$$)

---

**b) Ecuación: $$ 4x^{2}+4y^{2}+4x-4y+1=0 $$**

1. Dividimos toda la ecuación por 4 para simplificar:
   $$
   x^{2}+y^{2}+x-y+\frac{1}{4}=0
   $$

2. Reescribimos agrupando términos:
   $$
   (x^{2}+x) + (y^{2}-y) = -\frac{1}{4}
   $$

3. Completamos cuadrados para cada variable:

- Para $$x$$:
     $$
     x^{2}+x = \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}
     $$
   - Para $$y$$:
     $$
     y^{2}-y = \left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}
     $$

4. Sustituimos en la ecuación:
   $$
   \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}
   $$

5. Simplificamos:
   $$
   \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
   $$

6. Forma ordinaria de la circunferencia:
   $$
   \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
   $$
   
   - **Centro:** $$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$  
   - **Radio:** $$\frac{1}{2}$$ (ya que $$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$)

---

**c) Ecuación: $$ x^{2}+y^{2}-8x-10y+5=0 $$**

1. Reescribimos agrupando términos:
   $$
   (x^{2} - 8x) + (y^{2} - 10y) = -5
   $$

2. Completamos cuadrados:

- Para $$x$$:
     $$
     x^{2}-8x = (x-4)^{2} - 16
     $$
   - Para $$y$$:
     $$
     y^{2}-10y = (y-5)^{2} - 25
     $$

3. Sustituimos en la ecuación:
   $$
   (x-4)^2 - 16 + (y-5)^2 - 25 = -5
   $$

4. Simplificamos:
   $$
   (x-4)^2 + (y-5)^2 = -5 + 16 + 25 = 36
   $$

5. Forma ordinaria de la circunferencia:
   $$
   (x-4)^2 + (y-5)^2 = 36
   $$
   
   - **Centro:** $$(4, 5)$$  
   - **Radio:** $$6$$ (ya que $$6^2 = 36$$)

---

**d) Ecuación: $$ 2x^{2}+2y^{2}-12x-28y+110=0 $$**

1. Dividimos toda la ecuación por 2:
   $$
   x^{2}+y^{2}-6x-14y+55=0
   $$

2. Reescribimos agrupando términos:
   $$
   (x^{2}-6x) + (y^{2}-14y) = -55
   $$

3. Completamos cuadrados:

- Para $$x$$:
     $$
     x^{2}-6x = (x-3)^{2} - 9
     $$
   - Para $$y$$:
     $$
     y^{2}-14y = (y-7)^{2} - 49
     $$

4. Sustituimos en la ecuación:
   $$
   (x-3)^2 - 9 + (y-7)^2 - 49 = -55
   $$

5. Simplificamos:
   $$
   (x-3)^2 + (y-7)^2 = -55 + 9 + 49 = 3
   $$

6. Forma ordinaria de la circunferencia:
   $$
   (x-3)^2 + (y-7)^2 = 3
   $$
   
   - **Centro:** $$(3, 7)$$  
   - **Radio:** $$\sqrt{3}$$ (ya que $$(\sqrt{3})^2 = 3$$)

---

**Gráfica de las Circunferencias:**  
Para graficar cada circunferencia, se pueden seguir estos pasos comunes:
- Ubicar el centro en el plano cartesiano.
- Dibujar un círculo con el radio correspondiente desde el centro.
- Utilizar una cuadrícula que permita identificar claramente los puntos y distancias.

Cada ecuación ya está en forma ordinaria, lo que facilita la identificación del centro $$(h, k)$$ y el radio $$r$$.
**a)** - **Ecuación:** $$ (x-1)^2 + (y-10)^2 = 4 $$ - **Centro:** $$(1, 10)$$ - **Radio:** $$2$$ **b)** - **Ecuación:** $$ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ - **Centro:** $$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ - **Radio:** $$\frac{1}{2}$$ **c)** - **Ecuación:** $$ (x-4)^2 + (y-5)^2 = 36 $$ - **Centro:** $$(4, 5)$$ - **Radio:** $$6$$ **d)** - **Ecuación:** $$ (x-3)^2 + (y-7)^2 = 3 $$ - **Centro:** $$(3, 7)$$ - **Radio:** $$\sqrt{3}$$ **Gráfica:** Cada circunferencia se dibuja con su centro y radio correspondiente en el plano cartesiano.

Transforme cada una de las siguientes ecuaciones de una circunferencia, a
forma ordinaria, identifique el centro, el radio y grafique.

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