293. Una piramide retta alta 18 cm ha per base un rombo con le diagonali di 24 cm e 32 cm . Calcola l'area laterale e l'area totale della piramide. [ $$ \left.816 \mathrm{~cm}^{2} ; 1200 \mathrm{~cm}^{2}\right] $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sia data una piramide retta con altezza $$ h=18 $$ cm e base un rombo con diagonali $$ d_1=24 $$ cm e $$ d_2=32 $$ cm.

### 1. Calcolo dell’area della base

L’area di un rombo si trova con la formula
$$
A_{\text{base}}=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}.
$$
Sostituendo:
$$
A_{\text{base}}=\frac{24\cdot 32}{2}=\frac{768}{2}=384\ \text{cm}^2.
$$

### 2. Calcolo del lato del rombo

Il lato $$ s $$ del rombo è dato da:
$$
s=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}.
$$
Sostituendo:
$$
s=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \text{cm}.
$$

### 3. Calcolo dell’apotema (distanza perpendicolare dal centro alla base)

In un poligono tangente l’inraggio (o apotema) si ottiene con:
$$
r=\frac{2A_{\text{base}}}{\text{perimetro}}.
$$
Il perimetro del rombo è
$$
P=4s=80\ \text{cm}.
$$
Quindi
$$
r=\frac{2\cdot 384}{80}=\frac{768}{80}=9.6\ \text{cm}.
$$
Questo $$ r $$ è la distanza minima dal centro (proiezione dell’apice) a una qualsiasi retta laterale della base.

### 4. Calcolo dell’altezza inclinata (apotema laterale) della piramide

Nei triangoli laterali, l’altezza (o apotema laterale) $$ l $$ si ottiene considerando il triangolo rettangolo avente:
- un cateto pari all’altezza della piramide, $$ h=18 $$ cm,
- l’altro cateto pari alla distanza perpendicolare dal centro alla retta che contiene il lato, $$ r=9.6 $$ cm.

Quindi
$$
l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{18^2+9.6^2}=\sqrt{324+92.16}=\sqrt{416.16}\approx20.402\ \text{cm}.
$$

### 5. Calcolo dell’area laterale

Ogni faccia laterale è un triangolo isoscele con base $$ s=20 $$ cm e altezza $$ l\approx20.402 $$ cm. L’area di un triangolo è
$$
A_{\text{tri}}=\frac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altezza}.
$$
Quindi per ogni triangolo:
$$
A_{\text{tri}}=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20.402=10\cdot20.402\approx204.02\ \text{cm}^2.
$$
Essendo 4 i triangoli laterali:
$$
A_{\text{lat}}=4\cdot204.02\approx816\ \text{cm}^2.
$$

### 6. Calcolo dell’area totale

L’area totale della piramide è data dalla somma dell’area della base e dell’area laterale:
$$
A_{\text{tot}}=A_{\text{base}}+A_{\text{lat}}=384+816=1200\ \text{cm}^2.
$$

Quindi le risposte sono:
- Area laterale: $$ 816\ \text{cm}^2 $$
- Area totale: $$ 1200\ \text{cm}^2 $$
L'area laterale della piramide è $$ 816 \, \text{cm}^2 $$ e l'area totale è $$ 1200 \, \text{cm}^2 $$.

293. Una piramide retta alta 18 cm ha per base un rombo con le diagonali di 24 cm e 32 cm . Calcola l'area laterale e l'area totale della piramide. [ \( \left.816 \mathrm{~cm}^{2} ; 1200 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

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