1. (2,0 pontos) Mostre que a aplicação $$ A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$, dada por $$ A(x, y, z)=(2 x-y+3 z, 4 y+2 z, 2 x-y) $$ é uma transformação linear. 2. (2,0) Seja $$ A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, A(x, y, z)=(x-2 y, 2 x+3 y-z) $$. Determine a representação matricial de $$ A $$ nas bases canônicas de $$ \mathbb{R}^{3} $$ e $$ \mathbb{R}^{2} $$.

Question

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1. Para mostrar que a aplicação $$ A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ dada por

$$
A(x, y, z) = (2x - y + 3z, 4y + 2z, 2x - y)
$$

é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades fundamentais de transformações lineares:

- **Aditividade**: $$ A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) $$ para todos $$ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} $$.
- **Homogeneidade**: $$ A(c \mathbf{u}) = c A(\mathbf{u}) $$ para todo $$ c \in \mathbb{R} $$ e $$ \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3} $$.

Seja $$ \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) $$ e $$ \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2) $$.

**Verificando a aditividade:**

$$
A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)) = (2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) + 3(z_1 + z_2), 4(y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2), 2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2))
$$

Calculando cada componente:

1. Primeira componente:
$$
2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) + 3(z_1 + z_2) = (2x_1 - y_1 + 3z_1) + (2x_2 - y_2 + 3z_2) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v})
$$

2. Segunda componente:
$$
4(y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2) = (4y_1 + 2z_1) + (4y_2 + 2z_2) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v})
$$

3. Terceira componente:
$$
2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = (2x_1 - y_1) + (2x_2 - y_2) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v})
$$

Assim, temos que $$ A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) $$.

**Verificando a homogeneidade:**

Seja $$ c \in \mathbb{R} $$:

$$
A(c \mathbf{u}) = A((cx_1, cy_1, cz_1)) = (2(cx_1) - (cy_1) + 3(cz_1), 4(cy_1) + 2(cz_1), 2(cx_1) - (cy_1))
$$

Calculando cada componente:

1. Primeira componente:
$$
2(cx_1) - (cy_1) + 3(cz_1) = c(2x_1 - y_1 + 3z_1) = c A(\mathbf{u})
$$

2. Segunda componente:
$$
4(cy_1) + 2(cz_1) = c(4y_1 + 2z_1) = c A(\mathbf{u})
$$

3. Terceira componente:
$$
2(cx_1) - (cy_1) = c(2x_1 - y_1) = c A(\mathbf{u})
$$

Assim, temos que $$ A(c \mathbf{u}) = c A(\mathbf{u}) $$.

Como $$ A $$ satisfaz as duas propriedades, concluímos que $$ A $$ é uma transformação linear.

---

2. Para determinar a representação matricial da transformação $$ A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ dada por

$$
A(x, y, z) = (x - 2y, 2x + 3y - z),
$$

nas bases canônicas de $$ \mathbb{R}^{3} $$ e $$ \mathbb{R}^{2} $$, precisamos encontrar a matriz que representa essa transformação.

A matriz $$ M $$ que representa $$ A $$ será uma matriz $$ 2 \times 3 $$ (2 linhas e 3 colunas), onde cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica de $$ \mathbb{R}^{3} $$.

Os vetores da base canônica de $$ \mathbb{R}^{3} $$ são:

$$
\mathbf{e_1} = (1, 0, 0), \quad \mathbf{e_2} = (0, 1, 0), \quad \mathbf{e_3} = (0, 0, 1).
$$

Calculando as imagens:

1. Para $$ \mathbf{e_1} = (1, 0, 0) $$:
$$
A(1, 0, 0) = (1 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 0) = (1, 2).
$$

2. Para $$ \mathbf{e_2} = (0, 1, 0) $$:
$$
A(0, 1, 0) = (0 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 0) = (-2, 3).
$$

3. Para $$ \mathbf{e_3} = (0, 0, 1) $$:
$$
A(0, 0, 1) = (0 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1) = (0, -1).
$$

Agora, organizamos as imagens em colunas para formar a matriz $$ M $$:

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 \
2 & 3 & -1
\end{pmatrix}.
$$

Portanto, a representação matricial da transformação $$ A $$ nas bases canônicas de $$ \mathbb{R}^{3} $$ e $$ \mathbb{R}^{2} $$ é

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 \
2 & 3 & -1
\end{pmatrix}.
$$
1. A aplicação $$ A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ dada por $$ A(x, y, z) = (2x - y + 3z, 4y + 2z, 2x - y) $$ é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. 2. A representação matricial da transformação $$ A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ dada por $$ A(x, y, z) = (x - 2y, 2x + 3y - z) $$ nas bases canônicas é $$ M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} $$.

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