В треугольнике \( A B C \) прове- дена биссектриса \( A D \). Най- дите периметр треугольни- ка \( A B C \), если \( A C=12 \) дм, \( D C=6 \) дм, \( B D=9 \) дм.

В треугольнике \( A B C \) по свойству биссектрисы известно, что отношение длин отрезков, на которые она делит сторону \( B C \), равно отношению длин прилежащих сторон. То есть, можно записать: \[ \frac{A D}{D C} = \frac{A B}{A C} \] Обозначим \( A D = x \). Тогда получим: \[ \frac{x}{6} = \frac{A B}{12} \] Из этого мы можем выразить \( A B \): \[ A B = \frac{12}{6} \cdot x = 2x \] Теперь, пользуясь вторым отрезком, \( B D = 9 \) дм, можем записать \( B D + D C = B C \): \[ B C = 9 + 6 = 15 \text{ дм} \] Теперь, используя свойство биссектрисы, имеем: \[ \frac{A B}{B C} = \frac{A C}{D C} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{2x}{15} = \frac{12}{6} \] Это упростится до: \[ \frac{2x}{15} = 2 \implies 2x = 30 \implies x = 15 \] Теперь мы знаем \( A B = 2x = 30 \) дм. Рассчитаем периметр: \[ P = A B + A C + B C = 30 + 12 + 15 = 57 \text{ дм} \] Таким образом, периметр треугольника \( A B C \) равен \( 57 \) дм.