Problème 2. Volume, différents systèmes de coordonnées. Le volume d'un solide limité par un cylindre et une sphère est donné par \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x \] (a) Décrivez le solide en question et faites une figure (à la main). (b) Écrivez, sans évaluer, une intégrale équivalente en coordonnées cylindriques. (c) Écrivez, sans évaluer, une intégrale équivalente en coordonnées sphériques avec l'ordre d'intégration \( d \theta d \rho d \phi \). Pour ceci, il sera utile de déterminer l'équation du cylindre en coordonnées sphériques. (d) Donnez le volume du solide en question (évaluez une seule des intégrales triples).

1. Pour décrire le solide, nous avons un cylindre de rayon 2 et une sphère de rayon 2 (donc centrée à l'origine). Le cylindre est orienté verticalement, tandis que la sphère est placée autour de l'origine. L'intersection de ces deux formes définit un volume limité que l'on doit explorer. Imaginez un tube droit (le cylindre) où une boule (la sphère) est enfoncée à l'intérieur en touchant les parois. Pour réaliser une figure, dessinez un cylindre et une sphère, veillez à montrer comment ils s'intersectent. 2. En coordonnées cylindriques, nous définissons les variables comme suit : \( x = r \cos(\theta) \), \( y = r \sin(\theta) \). Pour le cylindre, l'équation devient \( r^2 \leq 4 \) (donc \( r \) varie de 0 à 2) et pour la sphère, \( z^2 + r^2 \leq 4 \) (ou \( z \) varie entre \(-\sqrt{4 - r^2}\) et \(\sqrt{4 - r^2}\)). L’intégrale en coordonnées cylindriques devient : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r \, dz \, dr \, d\theta \] 3. En coordonnées sphériques, nous avons \( x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \), \( y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta) \) et \( z = \rho \cos(\phi) \). Le cylindre en coordonnées sphériques se définit comme \( \sin^2(\phi) \cos^2(\theta) + \sin^2(\phi) \sin^2(\theta) = 4 \Rightarrow \sin^2(\phi) = \frac{4}{\rho^2} \) donc \( \rho \geq 2 \sin(\phi) \). Ici, l'intégrale sera formulée sous la forme : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2/\sin(\phi)} \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] 4. Pour évaluer le volume, concentrons-nous sur l'intégrale en coordonnées cartésiennes. L'intégrale est : \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x - x^{2}}} \int_{-\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}} dz \, dy \, dx \] Cela correspond à : \[ = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2x - x^{2}}} 2\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} \, dy \, dx \] Le calcul de cette intégrale donne finalement le volume du solide en question, qui s'avère être \( \frac{16}{3} \pi \) unités de volume, une belle manifestation de la géométrie dans l’espace !