5. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, \( \begin{array}{l}\text { объем конуса равен } 9 \pi \text { см }^{3} \text {. Найдите радиус основания } \\ \text { конуса. }\end{array} \)

Пусть основание конуса имеет радиус R, а высота – h. Из условия известно, что осевое сечение конуса – равносторонний треугольник. При осевом сечении конуса, проходящем через вершину и центр основания, получается равнобедренный треугольник, в основании которого лежит диаметр окружности (2R). Если этот треугольник равносторонний, то все его стороны равны. Следовательно, сторона равностороннего треугольника равна 2R, а высота этого треугольника (которая совпадает с высотой конуса) определяется формулой для высоты равностороннего треугольника:   h = (2R·√3)⁄2 = R√3. Объем конуса вычисляется по формуле:   V = (1/3)·π·R²·h. Подставляем h = R√3:   V = (1/3)·π·R²·(R√3) = (π√3·R³)⁄3. По условию V = 9π, тогда:   (π√3·R³)⁄3 = 9π. Сократим π (при π ≠ 0) и перемножим на 3:   √3·R³ = 27  ⇒  R³ = 27⁄√3. Упростим выражение:   R³ = (27√3)⁄3 = 9√3. Отсюда R = √[3]{9√3}. Таким образом, радиус основания конуса равен √[3]{9√3} см.