2) Estimate the effusion rate of methane through a small hole in a pipeline operating at 75 psia, if a leak test with helium at the same conditions reveals that \( 0.55 \mathrm{dm}^{3} \) of helium escapes per minute. Moreover, if the cost of gas per thousand cubic feet is \( 1.25 \mathrm{US} \$ \). Which would be the lost per year?

Para resolver el problema, seguiremos los siguientes pasos: 1. **Condiciones conocidas:** - Presión de operación: \( 75 \, \text{psia} \) - Tasa de escape de helio: \( 0.55 \, \text{dm}^3/\text{min} \) - Costo del gas: \( 1.25 \, \text{US} \, \$ \) por mil pies cúbicos. 2. **Estimación de la tasa de efusión de metano:** La tasa de efusión de un gas a través de un pequeño orificio se puede estimar utilizando la ley de Graham, que establece que la tasa de efusión es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molar del gas. La relación se puede expresar como: \[ \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \] Donde: - \( r_1 \) es la tasa de efusión de helio. - \( r_2 \) es la tasa de efusión de metano. - \( M_1 \) es la masa molar del helio (\( 4 \, \text{g/mol} \)). - \( M_2 \) es la masa molar del metano (\( 16 \, \text{g/mol} \)). Primero, calculamos la tasa de efusión de metano \( r_2 \): \[ r_2 = r_1 \cdot \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \] Sustituyendo los valores: \[ r_2 = 0.55 \, \text{dm}^3/\text{min} \cdot \sqrt{\frac{16}{4}} \] \[ r_2 = 0.55 \, \text{dm}^3/\text{min} \cdot \sqrt{4} \] \[ r_2 = 0.55 \, \text{dm}^3/\text{min} \cdot 2 \] \[ r_2 = 1.1 \, \text{dm}^3/\text{min} \] 3. **Conversión de la tasa de efusión a pies cúbicos:** Sabemos que \( 1 \, \text{dm}^3 = 0.0353147 \, \text{ft}^3 \). Por lo tanto, convertimos \( r_2 \) a pies cúbicos: \[ r_2 = 1.1 \, \text{dm}^3/\text{min} \cdot 0.0353147 \, \text{ft}^3/\text{dm}^3 \] \[ r_2 \approx 0.0389 \, \text{ft}^3/\text{min} \] 4. **Cálculo de la pérdida anual:** Primero, calculamos la pérdida anual en pies cúbicos: \[ \text{Pérdida anual} = r_2 \cdot 60 \, \text{min/hora} \cdot 24 \, \text{horas/día} \cdot 365 \, \text{días/año} \] \[ \text{Pérdida anual} = 0.0389 \, \text{ft}^3/\text{min} \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \] \[ \text{Pérdida anual} \approx 20,487.84 \, \text{ft}^3/año \] 5. **Cálculo del costo anual:** Finalmente, calculamos el costo anual de la pérdida de metano: \[ \text{Costo anual} = \left( \frac{\text{Pérdida anual}}{1000} \right) \cdot 1.25 \, \text{US} \, \$ \] \[ \text{Costo anual} = \left( \frac{20,487.84}{1000} \right) \cdot 1.25 \] \[ \text{Costo anual} \approx 25.6098 \, \text{US} \, \$ \] Por lo tanto, la pérdida anual de metano a través de la fuga en el tubo es aproximadamente \( 25.61 \, \text{US} \, \$ \).