En cuántos factores primos se puede descomponer: $$ x^{12}-1 $$

Question

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Para descomponer $$ x^{12} - 1 $$ en factores primos (o irreducibles) sobre los números enteros, seguimos estos pasos:

1. **Aplicamos la diferencia de cuadrados:**
   $$
   x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1)
   $$

2. **Factorizamos $$ x^6 - 1 $$:**
   $$
   x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)
   $$
   $$
   x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
   $$
   $$
   x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
   $$

3. **Factorizamos $$ x^6 + 1 $$:**
   $$
   x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)
   $$
   
4. **Combinamos todos los factores:**
   $$
   x^{12} - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)
   $$

Cada uno de estos factores es irreducible sobre los enteros, lo que significa que no se pueden factorizar más dentro de los números enteros.

**Por lo tanto, $$ x^{12} - 1 $$ se puede descomponer en 6 factores primos.**
$$ x^{12} - 1 $$ se puede descomponer en 6 factores primos: $$ (x - 1) $$, $$ (x + 1) $$, $$ (x^2 + 1) $$, $$ (x^2 + x + 1) $$, $$ (x^2 - x + 1) $$, y $$ (x^4 - x^2 + 1) $$.

En cuántos factores primos se puede descomponer: \[ x^{12}-1 \]

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