2. Найти производные следующих функций (уровень II 2.1. \( y=\frac{4}{3 \sqrt{x^{5}}}-\frac{2}{x^{4}}+6 \sqrt[3]{x}-\frac{6}{x}+2 x^{2}-4 \);

**Решение:** 1. Перепишем исходную функцию в виде степенных функций: \[ \begin{aligned} y &= \frac{4}{3 \sqrt{x^5}} - \frac{2}{x^4} + 6 \sqrt[3]{x} - \frac{6}{x} + 2x^2 - 4 \\ &= \frac{4}{3}x^{-5/2} - 2x^{-4} + 6x^{1/3} - 6x^{-1} + 2x^2 - 4. \end{aligned} \] 2. Найдём производную каждого слагаемого по правилу \( \frac{d}{dx}\left(ax^n\right) = a\cdot n\,x^{n-1} \): - Для \(\frac{4}{3}x^{-5/2}\): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^{-5/2}\right) = \frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)x^{-5/2-1} = -\frac{10}{3}x^{-7/2}. \] - Для \(-2x^{-4}\): \[ \frac{d}{dx}\left(-2x^{-4}\right) = -2\cdot(-4)x^{-4-1} = 8x^{-5}. \] - Для \(6x^{1/3}\): \[ \frac{d}{dx}\left(6x^{1/3}\right) = 6\cdot\frac{1}{3}x^{1/3-1} = 2x^{-2/3}. \] - Для \(-6x^{-1}\): \[ \frac{d}{dx}\left(-6x^{-1}\right) = -6\cdot(-1)x^{-1-1} = 6x^{-2}. \] - Для \(2x^2\): \[ \frac{d}{dx}\left(2x^2\right) = 2\cdot2\,x^{2-1} = 4x. \] - Константа \(-4\) даёт производную \(0\). 3. Соберём полученные результаты: \[ y' = -\frac{10}{3}x^{-7/2} + 8x^{-5} + 2x^{-2/3} + 6x^{-2} + 4x. \]