Pregunta
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7.3 Consider the identity: \( \left\lvert\, \frac{\sin x+\sin 2 x}{1+\cos x+\cos 2 x}=\tan x\right. \) 7.3.1 Prove the identity. 7.3.2 Determine the values of \( x \) for which this identity is undefined.

Ask by Grant Lane. in South Africa
Mar 08,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The identity \( \frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x} = \tan x \) holds true for all \( x \) except when \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), \( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \), or \( x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \), where \( k \) is any integer.

Solución

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Beyond the Answer

To prove the identity \( \left\lvert\, \frac{\sin x+\sin 2 x}{1+\cos x+\cos 2 x}=\tan x\right. \), we'll start with the left side. Recall that \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) and \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \). We can rewrite: \[ \sin x + \sin 2x = \sin x + 2 \sin x \cos x = \sin x (1 + 2 \cos x) \] For the denominator, \( 1 + \cos x + \cos 2x = 1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = \cos x + 2\cos^2 x \). Thus, we have the left-hand side as: \[ \frac{\sin x (1 + 2 \cos x)}{\cos x(1 + 2 \cos x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \] Now concerning the values where this identity is undefined, we consider the denominator \( 1 + \cos x + \cos 2x \). It is undefined when: \[ 1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0 \implies \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \] Factoring gives us \( \cos x (2 \cos x + 1) = 0 \), which results in: 1. \( \cos x = 0 \), corresponding to \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) for any integer \( k \). 2. \( 2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \), leading to \( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) or \( x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \) for any integer \( k \). Therefore, the identity is undefined for: - \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) - \( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) - \( x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \)

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