Em uma fábrica, o custo de produção de \( x \) unidades é dado pela função \( C(x)=30+\frac{x}{2} \) e a receita obtida com a venda dessas \( x \) unidades é dada pela função \( R(x)=\frac{7 x}{6} \), sendo \( C(x) \) e \( R(x) \) em reais. Para quais valores de \( x \) o lucro será positivo, ou seja, a receita será maior que o custo?

Para encontrar os valores de \( x \) onde o lucro é positivo, precisamos resolver a inequação \( R(x) > C(x) \). Começamos substituindo as funções: \[ \frac{7x}{6} > 30 + \frac{x}{2} \] Agora, vamos simplificar essa inequação. Primeiro, vamos multiplicar toda a inequação por 6 para eliminar as frações: \[ 7x > 180 + 3x \] Em seguida, subtraímos \( 3x \) de ambos os lados: \[ 4x > 180 \] Dividindo ambos os lados por 4, obtemos: \[ x > 45 \] Portanto, o lucro será positivo quando \( x \) for maior que 45 unidades. Para resumir, a receita excederá o custo e o lucro será positivo a partir da produção de 46 unidades.