Сторона равностороннего треугольника равна \( 10 \sqrt{3} \mathrm{~m} \). Вычисли: - площадь треугольника; - радиус окружности, вписанной в треугольник; радиус окружности, описанной около треугольника. \( S=\square \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \); \( r=\square \mathrm{m} \); \( R=\square \mathrm{m} \).

Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника, можно использовать формулу \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) - сторона треугольника. Подставим наше значение: \[ S = \frac{(10\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{300 \sqrt{3}}{4} = 75 \sqrt{3} \text{ м}^2. \] Теперь для нахождения радиуса вписанной окружности (r) используется формула \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) - полупериметр треугольника. Для равностороннего треугольника \( p = \frac{3a}{2} = 15\sqrt{3} \). Значит: \[ r = \frac{75 \sqrt{3}}{15 \sqrt{3}} = 5 \text{ м}. \] Радиус описанной окружности (R) равностороннего треугольника смотрится по формуле \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \): \[ R = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \text{ м}. \] Итак, итоги: \( S = 75 \sqrt{3} \text{ м}^2 \); \( r = 5 \text{ м} \); \( R = 10 \text{ м} \).