Sumas de Riemann Obtenga el área bajo la kurva de lo función. $$ f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 $$

Question

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Dividimos el intervalo $$[0,1]$$ en $$n$$ subintervalos de longitud
$$
\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}.
$$

Escogemos como puntos de muestreo los extremos derechos, de modo que el $$i$$-ésimo punto es
$$
x_i = 0 + i\Delta x = \frac{i}{n}.
$$

La suma de Riemann será
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\Delta x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\frac{i}{n}\right)^3 + 2\left(\frac{i}{n}\right)^2 + 1\right].
$$

Separando la suma:
$$
S_n = \frac{1}{n}\left[\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} 1\right]
= \frac{1}{n^4}\sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{2}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} 1.
$$

Utilizaremos las fórmulas conocidas:
$$
\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2,\quad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{i=1}^{n} 1 = n.
$$

Sustituyendo obtenemos:
$$
S_n = \frac{1}{n^4}\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right) + \frac{2}{n^3}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) + \frac{n}{n}.
$$

Simplificamos cada término:

1. Primer término:
$$
\frac{1}{n^4}\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right)= \frac{(n+1)^2}{4n^2}.
$$

2. Segundo término:
$$
\frac{2}{n^3}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)= \frac{2(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{(n+1)(2n+1)}{3n^2}.
$$

3. Tercer término:
$$
\frac{n}{n} = 1.
$$

Finalmente, el área bajo la curva es el límite:
$$
A = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\left[ \frac{(n+1)^2}{4n^2} + \frac{(n+1)(2n+1)}{3n^2} + 1\right].
$$

Evaluamos los límites:

1. Para el primer término:
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{4}.
$$

2. Para el segundo término:
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{3n^2} = \frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}.
$$
Observamos que
$$
(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1,
$$
entonces
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{n^2} = 2.
$$
Así,
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{3n^2} = \frac{2}{3}.
$$

3. El tercer término es $$1$$.

Por lo tanto, el área es:
$$
A = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1.
$$

Para sumar, llevamos a común denominador:
$$
\frac{1}{4} = \frac{3}{12},\quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12},\quad 1 = \frac{12}{12}.
$$

Sumando:
$$
A = \frac{3+8+12}{12} = \frac{23}{12}.
$$

El área bajo la curva de la función $$ f(x) = x^{3}+2x^{2}+1 $$ en el intervalo $$[0,1]$$ es
$$
\boxed{\frac{23}{12}}.
$$
El área bajo la curva de la función $$ f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 1 $$ en el intervalo $$[0,1]$$ es $$ \frac{23}{12} $$.

Sumas de Riemann Obtenga el área bajo la kurva de lo función. \[ f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 \]

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