Demostrar $$ a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2} \geq a b c(a+b+c) \mathbb{R}^{+} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos la desigualdad

$$
a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} \geq abc(a+b+c)
$$

para $$ a,b,c \in \mathbb{R}^{+} $$.

Procedemos a demostrarla mediante la suma de tres cuadrados.

1. Observemos la expresión

$$
   (ab-ac)^2 + (ab-bc)^2 + (ac-bc)^2.
   $$

2. Expandamos cada uno de los términos:

- Para $$ (ab-ac)^2 $$:

$$
     (ab-ac)^2 = a^2b^2 - 2a^2bc + a^2c^2.
     $$

- Para $$ (ab-bc)^2 $$:

$$
     (ab-bc)^2 = a^2b^2 - 2ab^2c + b^2c^2.
     $$

- Para $$ (ac-bc)^2 $$:

$$
     (ac-bc)^2 = a^2c^2 - 2abc^2 + b^2c^2.
     $$

3. Sumemos las tres expresiones:

$$
   \begin{aligned}
   & (ab-ac)^2 + (ab-bc)^2 + (ac-bc)^2 \
   =\; & \bigl(a^2b^2 - 2a^2bc + a^2c^2\bigr) + \bigl(a^2b^2 - 2ab^2c + b^2c^2\bigr) + \bigl(a^2c^2 - 2abc^2 + b^2c^2\bigr) \
   =\; & 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - 2abc\,(a+b+c).
   \end{aligned}
   $$

4. Factorizamos el $$ 2 $$ en la suma:

$$
   (ab-ac)^2 + (ab-bc)^2 + (ac-bc)^2 = 2\Bigl(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - abc(a+b+c)\Bigr).
   $$

5. Dado que el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que cero, se tiene

$$
   (ab-ac)^2 + (ab-bc)^2 + (ac-bc)^2 \geq 0.
   $$

Por lo tanto,

$$
   2\Bigl(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - abc(a+b+c)\Bigr) \geq 0.
   $$

6. Dividiendo ambos lados de la desigualdad anterior por $$ 2 $$ obtenemos

$$
   a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - abc(a+b+c) \geq 0,
   $$

o equivalentemente,

$$
   a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 \geq abc(a+b+c).
   $$

Así se demuestra la desigualdad para $$ a,b,c \in \mathbb{R}^{+} $$.
Para $$ a, b, c $$ positivos, se cumple que $$ a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} \geq abc(a + b + c) $$.

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