El abuelo Eduardo da dinero a 3 de sus hijos para que lo repartan a los nietos
de manera equitativa. A su hijo Rubén le da 5000 pesos, a su hijo Anselmo le
da 600, mientras que a Horacio solo 3000 pesos. ¿Cuál es la mayor cantidad
de dinero que podrán darle a sus hijos y cuantos nietos tiene Eduardo?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sea $$ x $$ el monto que cada nieto recibe. Como cada hijo reparte su dinero en partes iguales entre los nietos, $$ x $$ debe ser divisor de los tres montos.

2. Tenemos los siguientes montos:
   - Rubén recibe $$ 5000 $$ pesos.
   - Anselmo recibe $$ 600 $$ pesos.
   - Horacio recibe $$ 3000 $$ pesos.

3. Para que cada cantidad se pueda repartir en partes iguales de $$ x $$ pesos, $$ x $$ debe ser un divisor común de $$ 5000 $$, $$ 600 $$ y $$ 3000 $$. Como se busca la mayor cantidad posible por nieto, debemos hallar el máximo común divisor (MCD) de estos montos.

4. Descomponemos en factores primos cada cantidad:

- $$ 5000 = 5 \times 1000 = 5 \times (10^3) = 5 \times (2^3 \times 5^3) = 2^3 \times 5^4 $$.
   - $$ 600 = 6 \times 100 = (2 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^3 \times 3 \times 5^2 $$.
   - $$ 3000 = 3 \times 1000 = 3 \times (2^3 \times 5^3) = 2^3 \times 3 \times 5^3 $$.

5. Para hallar el MCD, tomamos los factores comunes con el menor exponente:

- Factor $$ 2 $$: mínimo exponente es $$ 3 $$ en los tres números.
   - Factor $$ 3 $$: Aparece en $$ 600 $$ y $$ 3000 $$, pero no en $$ 5000 $$; por ello, no se toma.
   - Factor $$ 5 $$: el mínimo exponente es $$ 2 $$ (en $$ 600 $$).

Por lo tanto, el MCD es:
   $$
   \text{MCD} = 2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200.
   $$

6. Entonces, la mayor cantidad de dinero que podrán darle a cada nieto es $$ 200 $$ pesos.

7. Para determinar cuántos nietos tiene Eduardo, calculamos cuántas partes de $$ 200 $$ pesos se obtienen de cada hijo:
   - Rubén: $$ \frac{5000}{200} = 25 $$ nietos.
   - Anselmo: $$ \frac{600}{200} = 3 $$ nietos.
   - Horacio: $$ \frac{3000}{200} = 15 $$ nietos.

8. Dado que la reparación entre nietos es equitativa y cada uno recibe $$ 200 $$ pesos, el número total de nietos es:
   $$
   25 + 3 + 15 = 43.
   $$

Por lo tanto, la mayor cantidad de dinero que se podrá dar a cada nieto es $$ 200 $$ pesos y Eduardo tiene $$ 43 $$ nietos.
La mayor cantidad de dinero que se puede dar a cada nieto es 200 pesos, y Eduardo tiene 43 nietos.

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