Pregunta
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Graph the system below and write its solution. \[ \begin{array}{l}x-2 y=-3 \\ y=-x+3\end{array} \]

Ask by Wood Bernard. in the United States
Mar 14,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The solution to the system is \( (1, 2) \).

Solución

1. Solve for \( x \) and \( y \): - We are given: \[ \begin{cases} x-2y=-3 \\ y=-x+3 \end{cases} \] - Substitute \( y=-x+3 \) into \( x-2y=-3 \): \[ x - 2(-x+3)=-3 \] - Simplify: \[ x + 2x - 6 = -3 \quad \Rightarrow \quad 3x-6=-3 \] - Add 6 to both sides: \[ 3x = 3 \] - Divide by 3: \[ x = 1 \] - Substitute \( x=1 \) back into \( y=-x+3 \): \[ y = -1+3 = 2 \] - Thus, the solution is: \[ (x,y)=(1,2) \] 2. Graph the lines: - **First Line: \( x-2y=-3 \)** - Rewrite in slope-intercept form: \[ x-2y=-3 \quad \Rightarrow \quad -2y=-x-3 \quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \] - Identify two points: - \( y \)-intercept: Set \( x=0 \) gives: \[ y=\frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad (0, \frac{3}{2}) \] - \( x \)-intercept: Set \( y=0 \) gives: \[ x-2(0)=-3 \quad \Rightarrow \quad x=-3 \quad \Rightarrow \quad (-3,0) \] - **Second Line: \( y=-x+3 \)** - This line is already in slope-intercept form. - Identify two points: - \( y \)-intercept: Set \( x=0 \) gives: \[ y=3 \quad \Rightarrow \quad (0,3) \] - \( x \)-intercept: Set \( y=0 \) gives: \[ 0=-x+3 \quad \Rightarrow \quad x=3 \quad \Rightarrow \quad (3,0) \] 3. Plot the lines on the coordinate plane: - Plot the points for each line and draw the lines through these points. - The point where the lines intersect is at: \[ (1,2) \] - This intersection point is the solution to the system. Final answer: \[ (x,y)=(1,2) \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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To graph the system, first rearrange each equation into slope-intercept form (y = mx + b). For the first equation \( x - 2y = -3 \): 1. Move \( x \) to the right: \( -2y = -x - 3 \) 2. Divide by -2: \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \) For the second equation \( y = -x + 3 \), it's already in slope-intercept form. Now, let's plot the lines: 1. For \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \): - When \( x = 0 \), \( y = \frac{3}{2} = 1.5 \) (point (0, 1.5)). - When \( x = 2 \), \( y = \frac{1}{2}(2) + \frac{3}{2} = 2.5 \) (point (2, 2.5)). 2. For \( y = -x + 3 \): - When \( x = 0 \), \( y = 3 \) (point (0, 3)). - When \( x = 3 \), \( y = 0 \) (point (3, 0)). Next, draw the lines through these points. The intersection of these two lines is the solution to the system. To find the intersection algebraically, set the equations equal: \[ \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = -x + 3 \] Multiply through by 2 to eliminate the fraction: \[ x + 3 = -2x + 6 \] Combine like terms: \[ 3x = 3 \] Thus, \( x = 1 \). Substituting \( x = 1 \) back into one of the original equations to find \( y \): \[ y = -1 + 3 = 2 \] The solution to the system is \( (1, 2) \).

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