Завдання 11. Знайти загальні розв'язки однорідного (а) і лінійного (б) диференціальних рівнянь: \( \begin{array}{ll}\text { a) } x y^{\prime}=y+x \sin \frac{y}{x} ; & \text { б) } y^{\prime}-\frac{y}{x}=x \cos x\end{array} \)

Розглянемо обидва завдання окремо. ### (а) Однорідне диференціальне рівняння Дано рівняння: \[ x y' = y + x \sin \frac{y}{x} \] Перепишемо його у вигляді: \[ y' = \frac{y}{x} + \sin \frac{y}{x} \] Введемо нову змінну: \[ v = \frac{y}{x} \implies y = vx \implies y' = v + x v' \] Підставимо \(y\) та \(y'\) у рівняння: \[ v + x v' = v + \sin v \] Спростимо: \[ x v' = \sin v \] Отже, маємо: \[ \frac{dv}{\sin v} = \frac{dx}{x} \] Тепер інтегруємо обидві сторони: \[ \int \frac{dv}{\sin v} = \int \frac{dx}{x} \] Ліва частина інтегралу: \[ \int \frac{dv}{\sin v} = \ln |\tan \frac{v}{2}| + C_1 \] Права частина: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2 \] Отже, отримаємо: \[ \ln |\tan \frac{v}{2}| = \ln |x| + C \] Звідси: \[ |\tan \frac{v}{2}| = k |x|, \quad k = e^C \] Повертаємося до змінної \(y\): \[ |\tan \frac{y/x}{2}| = k |x| \] Це є загальним розв'язком однорідного рівняння. ### (б) Лінійне диференціальне рівняння Дано рівняння: \[ y' - \frac{y}{x} = x \cos x \] Це лінійне рівняння першого порядку. Спочатку знайдемо інтегрувальний множник: \[ \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln |x|} = \frac{1}{|x|} \] Помножимо обидві сторони рівняння на інтегрувальний множник: \[ \frac{1}{|x|} y' - \frac{y}{x^2} = \cos x \] Ліва частина є похідною добутку: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \cos x \] Інтегруємо обидві сторони: \[ \frac{y}{x} = \int \cos x \, dx = \sin x + C \] Отже, маємо: \[ y = x (\sin x + C) \] Це є загальним розв'язком лінійного рівняння. ### Висновок Загальні розв'язки: - (а) \( |\tan \frac{y/x}{2}| = k |x| \) - (б) \( y = x (\sin x + C) \)