Resuelva las siguientes integrales $$ \int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{2}(x)} d x $$

Question

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Consideremos la integral

$$
\int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\,dx.
$$

**Paso 1. Sustitución**

Realizamos la sustitución:

$$
u = \cos(x),
$$

de donde se tiene derivando:

$$
\frac{du}{dx} = -\sin(x) \quad \Longrightarrow \quad du = -\sin(x)\,dx.
$$

De esto se obtiene:

$$
\sin(x)\,dx = -du.
$$

**Paso 2. Reescribir la integral**

Sustituyendo en la integral:

$$
\int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\,dx = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2}\,du.
$$

**Paso 3. Integrar**

Integramos $$ u^{-2} $$:

$$
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}.
$$

Por tanto, la integral se convierte en

$$
-\int u^{-2}\,du = -\left(-\frac{1}{u}\right) = \frac{1}{u}.
$$

**Paso 4. Sustituir de vuelta**

Recordando que $$ u = \cos(x) $$, sustituimos:

$$
\frac{1}{u} = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x).
$$

**Solución final**

La solución de la integral es:

$$
\int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\,dx = \sec(x) + C,
$$

donde $$ C $$ es la constante de integración.
La integral se resuelve como $$ \sec(x) + C $$.

Resuelva las siguientes integrales \[ \int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{2}(x)} d x \]