44. (ITA 2010/Adaptada) Determine o centro e o raio da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são $$ A=(1,1), B(1,7) $$ e $$ C(5,4) $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Cálculo dos lados do triângulo**

Sejam os vértices do triângulo:
- $$ A=(1,1) $$
- $$ B=(1,7) $$
- $$ C=(5,4) $$

Os comprimentos dos lados são:
- Lado oposto a $$ A $$: $$ BC $$
  $$
  a = \sqrt{(5-1)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = 5
  $$
- Lado oposto a $$ B $$: $$ AC $$
  $$
  b = \sqrt{(5-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5
  $$
- Lado oposto a $$ C $$: $$ AB $$
  $$
  c = \sqrt{(1-1)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6
  $$

**Cálculo do incentro**

A fórmula para o incentro $$ I $$ é:
$$
I = \frac{aA + bB + cC}{a+b+c}
$$
Substituindo os valores:
$$
I = \frac{5(1,1) + 5(1,7) + 6(5,4)}{5+5+6} = \frac{(5+5+30,\; 5+35+24)}{16}
$$
Calculando as coordenadas:
$$
I_x = \frac{5+5+30}{16} = \frac{40}{16} = 2.5, \quad I_y = \frac{5+35+24}{16} = \frac{64}{16} = 4
$$
Portanto, o incentro é:
$$
I = (2.5,4)
$$

**Cálculo do raio da circunferência inscrita**

Primeiro, calcula-se a área $$ \Delta $$ do triângulo. Utilizando a fórmula da área com determinante:
$$
\Delta = \frac{1}{2}\left| x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B) \right|
$$
Substituindo:
$$
\Delta = \frac{1}{2}\left| 1(7-4) + 1(4-1) + 5(1-7) \right| = \frac{1}{2}\left| 3+3-30 \right| = \frac{1}{2}|-24| = 12
$$

Em seguida, o semiperímetro $$ s $$ é:
$$
s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+6}{2} = 8
$$

O raio $$ r $$ da circunferência inscrita é dado por:
$$
r = \frac{\Delta}{s} = \frac{12}{8} = 1.5
$$

**Resposta Final**

- Incentro: $$ (2.5,4) $$
- Raio da circunferência inscrita: $$ 1.5 $$
O centro da circunferência inscrita está no ponto $$ (2.5, 4) $$ e o raio é $$ 1.5 $$.

(ITA 2010/Adaptada) Determine o centro e o raio da
circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são
e .

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