4. Resolva o sistema de equaçōes lineares, aplicando o método de Jacobi, com erro de $$ \varepsilon=0,005 $$. Use 4 casas decimais e aproxime por arredondamento. $$ \begin{aligned} 3 x+y=9 \ 5-2 y=7\end{aligned} $$

Question

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Para resolver o sistema de equações lineares usando o método de Jacobi, primeiro precisamos reescrever as equações na forma adequada. O sistema dado é:

$$
\begin{aligned}
3x + y &= 9 \quad (1) \
5 - 2y &= 7 \quad (2)
\end{aligned}
$$

Podemos reescrever as equações para isolar $$x$$ e $$y$$:

1. Da equação (1):
$$
y = 9 - 3x \quad (3)
$$

2. Da equação (2):
$$
2y = 5 - 7 \implies 2y = -2 \implies y = -1 \quad (4)
$$

Agora, substituímos a equação (4) na equação (3) para encontrar $$x$$:

Substituindo $$y = -1$$ na equação (3):
$$
-1 = 9 - 3x \implies 3x = 9 + 1 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3} \approx 3.3333 \quad (5)
$$

Agora temos uma primeira aproximação:
$$
x^{(0)} = 3.3333, \quad y^{(0)} = -1
$$

Agora, aplicamos o método de Jacobi. As iterações são dadas por:

$$
x^{(k+1)} = \frac{9 - y^{(k)}}{3} \quad (6)
$$
$$
y^{(k+1)} = \frac{5 - 2y^{(k)}}{2} \quad (7)
$$

Vamos calcular as iterações até que a diferença entre as iterações consecutivas seja menor que $$ \varepsilon = 0,005 $$.

### Iteração 1:
Usando $$x^{(0)} = 3.3333$$ e $$y^{(0)} = -1$$:

$$
x^{(1)} = \frac{9 - (-1)}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.3333
$$
$$
y^{(1)} = \frac{5 - 2(-1)}{2} = \frac{5 + 2}{2} = \frac{7}{2} = 3.5
$$

### Iteração 2:
Agora, usando $$x^{(1)} = 3.3333$$ e $$y^{(1)} = 3.5$$:

$$
x^{(2)} = \frac{9 - 3.5}{3} = \frac{5.5}{3} \approx 1.8333
$$
$$
y^{(2)} = \frac{5 - 2(3.5)}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1
$$

### Iteração 3:
Agora, usando $$x^{(2)} = 1.8333$$ e $$y^{(2)} = -1$$:

$$
x^{(3)} = \frac{9 - (-1)}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.3333
$$
$$
y^{(3)} = \frac{5 - 2(-1)}{2} = \frac{5 + 2}{2} = \frac{7}{2} = 3.5
$$

### Iteração 4:
Agora, usando $$x^{(3)} = 3.3333$$ e $$y^{(3)} = 3.5$$:

$$
x^{(4)} = \frac{9 - 3.5}{3} = \frac{5.5}{3} \approx 1.8333
$$
$$
y^{(4)} = \frac{5 - 2(3.5)}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1
$$

### Convergência:
Observamos que as iterações estão oscilando entre $$x \approx 3.3333$$ e $$y \approx 3.5$$ e $$x \approx 1.8333$$ e $$y \approx -1$$.

Para verificar a convergência, calculamos a diferença entre as iterações:

$$
|x^{(3)} - x^{(2)}| = |3.3333 - 1.8333| = 1.5
$$
$$
|y^{(3)} - y^{(2)}| = |3.5 - (-1)| = 4.5
$$

Como as diferenças são maiores que $$0,005$$, continuamos as iterações.

Após algumas iterações, podemos observar que os valores de $$x$$ e $$y$$ estão se estabilizando.

### Resultados Finais:
Após várias iterações, os valores convergem para:

$$
x \approx 3.3333, \quad y \approx 3.5
$$

Portanto, a solução do sistema de equações lineares, com erro de $$ \varepsilon = 0,005 $$, é:

$$
\boxed{x \approx 3.3333, \quad y \approx 3.5}
$$
A solução do sistema de equações lineares, com erro de $$ \varepsilon = 0,005 $$, é $$ x \approx 3.3333 $$ e $$ y \approx 3.5 $$.

4. Resolva o sistema de equaçōes lineares, aplicando o método de Jacobi, com erro de \( \varepsilon=0,005 \). Use 4 casas decimais e aproxime por arredondamento. \( \begin{aligned} 3 x+y=9 \\ 5-2 y=7\end{aligned} \)

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