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Der Winkel zwischen den Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) ist \( \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{114}}\right) \) Grad.
Solución
Um den Winkel zwischen den Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) zu berechnen, benötigen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden.
Die Geraden sind gegeben durch:
1. \( \mathrm{g}: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \)
- Richtungsvektor \( \vec{v_g} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \)
2. \( \mathrm{h}: \vec{x} = \begin{pmatrix} -13 \\ -9 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
- Richtungsvektor \( \vec{v_h} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Der Winkel \( \theta \) zwischen zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) kann mit der Formel
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
\]
berechnet werden, wobei \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) das Skalarprodukt und \( |\vec{a}| \) und \( |\vec{b}| \) die Beträge der Vektoren sind.
### Schritt 1: Berechnung des Skalarprodukts
Das Skalarprodukt \( \vec{v_g} \cdot \vec{v_h} \) ist:
\[
\vec{v_g} \cdot \vec{v_h} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 5 \cdot 5 + 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 1
\]
### Schritt 2: Berechnung der Beträge der Vektoren
Der Betrag von \( \vec{v_g} \) ist:
\[
|\vec{v_g}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-3)^2}
\]
Der Betrag von \( \vec{v_h} \) ist:
\[
|\vec{v_h}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 1^2}
\]
### Schritt 3: Berechnung des Winkels
Jetzt setzen wir alles in die Formel für \( \cos(\theta) \) ein und berechnen den Winkel \( \theta \).
Ich werde nun die Berechnungen durchführen.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(\sqrt{5^{2}+1^{2}+1^{2}}\)
- step1: Evaluate the power:
\(\sqrt{5^{2}+1+1^{2}}\)
- step2: Evaluate the power:
\(\sqrt{5^{2}+1+1}\)
- step3: Add the numbers:
\(\sqrt{27}\)
- step4: Write as a product:
\(\sqrt{9\times 3}\)
- step5: Write in exponential form:
\(\sqrt{3^{2}\times 3}\)
- step6: Use the properties of radicals:
\(\sqrt{3^{2}}\times \sqrt{3}\)
- step7: Simplify the root:
\(3\sqrt{3}\)
Calculate or simplify the expression \( \sqrt(5^2 + 2^2 + (-3)^2) \).
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(\sqrt{5^{2}+2^{2}+\left(-3\right)^{2}}\)
- step1: Add the numbers:
\(\sqrt{38}\)
Calculate or simplify the expression \( 5*5 + 2*1 + (-3)*1 \).
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(5\times 5+2\times 1+\left(-3\right)\times 1\)
- step1: Remove the parentheses:
\(5\times 5+2\times 1-3\times 1\)
- step2: Multiply the numbers:
\(25+2\times 1-3\times 1\)
- step3: Multiply:
\(25+2-3\times 1\)
- step4: Multiply:
\(25+2-3\)
- step5: Calculate:
\(24\)
### Schritt 1: Berechnung des Skalarprodukts
Das Skalarprodukt \( \vec{v_g} \cdot \vec{v_h} \) ergibt:
\[
\vec{v_g} \cdot \vec{v_h} = 24
\]
### Schritt 2: Berechnung der Beträge der Vektoren
Der Betrag von \( \vec{v_g} \) ist:
\[
|\vec{v_g}| = \sqrt{38}
\]
Der Betrag von \( \vec{v_h} \) ist:
\[
|\vec{v_h}| = 3\sqrt{3}
\]
### Schritt 3: Berechnung des Winkels
Jetzt setzen wir alles in die Formel für \( \cos(\theta) \) ein:
\[
\cos(\theta) = \frac{24}{\sqrt{38} \cdot 3\sqrt{3}}
\]
Zuerst berechnen wir den Nenner:
\[
\sqrt{38} \cdot 3\sqrt{3} = 3\sqrt{114}
\]
Jetzt setzen wir das in die Formel ein:
\[
\cos(\theta) = \frac{24}{3\sqrt{114}} = \frac{8}{\sqrt{114}}
\]
Um den Winkel \( \theta \) zu finden, verwenden wir den Arccosinus:
\[
\theta = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{114}}\right)
\]
Ich werde nun den Wert von \( \theta \) berechnen.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(\arccos\left(\frac{8}{\sqrt{114}}\right)\)
Der Winkel \( \theta \) zwischen den Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) ist gegeben durch:
\[
\theta = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{114}}\right)
\]
Das ist der exakte Ausdruck für den Winkel. Um den numerischen Wert zu erhalten, kann dieser Ausdruck in einem Taschenrechner oder einer Software ausgewertet werden.
Falls du eine numerische Approximation benötigst, lass es mich wissen!
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
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