В геометрической прогрессии $$ g=0,5 ; \mathrm{bn}=3 ; \mathrm{Sn}=93 $$. Найти b 1 и n : Выберите один правильный вариант для зтого вопроса

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим геометрическую прогрессию с формулами:

- $$ b_n = b_1 \cdot g^{\,n-1} $$
- $$ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - g^n}{1 - g} $$

Даны:
  
$$ g = 0.5,\quad b_n = 3,\quad S_n = 93 $$

**Шаг 1. Выразим $$ b_1 $$ через $$ n $$ из условия $$ b_n = 3 $$:**

$$
3 = b_1 \cdot (0.5)^{\,n-1} \quad \Longrightarrow \quad b_1 = \frac{3}{(0.5)^{\,n-1}} = 3 \cdot 2^{\,n-1}
$$

**Шаг 2. Подставим $$ b_1 $$ в формулу суммы $$ S_n $$:**

Запишем сумму:

$$
93 = b_1 \cdot \frac{1 - (0.5)^n}{1 - 0.5} = b_1 \cdot \frac{1 - (0.5)^n}{0.5} = 2b_1 \cdot \bigl(1 - (0.5)^n\bigr)
$$

Подставим найденное $$ b_1 $$:

$$
93 = 2 \cdot 3 \cdot 2^{\,n-1} \cdot \bigl(1 - (0.5)^n\bigr)
$$

$$
93 = 6 \cdot 2^{\,n-1} \cdot \bigl(1 - (0.5)^n\bigr)
$$

**Шаг 3. Упростим выражение:**

Заметим, что:

$$
2^{\,n-1} \cdot 2 = 2^n
$$

Тогда умножим и получим:

$$
93 = 6 \cdot 2^{\,n-1} \cdot \bigl(1 - (0.5)^n\bigr) \quad \Longrightarrow \quad 93 = 3 \cdot 2^n \cdot \bigl(1 - (0.5)^n\bigr)
$$

Так как $$ (0.5)^n = \frac{1}{2^n} $$, получаем:

$$
1 - (0.5)^n = 1 - \frac{1}{2^n} = \frac{2^n - 1}{2^n}
$$

Подставим обратно:

$$
93 = 3 \cdot 2^n \cdot \frac{2^n - 1}{2^n} = 3 \cdot (2^n - 1)
$$

**Шаг 4. Найдём $$ n $$:**

$$
3 \cdot (2^n - 1) = 93 \quad \Longrightarrow \quad 2^n - 1 = \frac{93}{3} = 31
$$

$$
2^n = 32 \quad \Longrightarrow \quad n = 5 \quad \text{(так как } 2^5 = 32\text{)}
$$

**Шаг 5. Найдём $$ b_1 $$:**

Используем найденное значение $$ n $$ в формуле

$$
b_1 = 3 \cdot 2^{\,n-1} = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48
$$

**Ответ:** $$ b_1 = 48 $$ и $$ n = 5 $$.
$$ b_1 = 48 $$ и $$ n = 5 $$.

В геометрической прогрессии \( g=0,5 ; \mathrm{bn}=3 ; \mathrm{Sn}=93 \). Найти b 1 и n : Выберите один правильный вариант для зтого вопроса